最近，我翻译的 Olivier Bordellès 所著的数论教材 Arithmetic Tales Advanced Edition 的中文版《数论探微：进阶版》正式出版了。
内容简介
本书是法国数论学者 Olivier Bordellès 所著 Arithmetic Tales: Advanced Edition 的中译本，面向已掌握初等数论基础知识的读者。全书共七章，系统涵盖：基础分析工具（如 Abel 求和、Euler--Maclaurin 公式）、线性 Diophantine 方程、素数分布理论（含素数定理、Riemann \\zeta-函数、Dirichlet L-函数及 Riemann 假设）、数论函数（包括 Dirichlet 级数理论、均值估计、多元数论函数、筛法及乘性数论中的十个著名问题）、曲线附近的整点计数、指数和估计（van der Corput 方法、指数对、Hardy--Littlewood 圆法、Vinogradov 方法、Vaughan 恒等式、Chowla--Walum 猜想、有限域上的指数和等），以及代数数域的基本理论（代数整数、理想论、Dedekind \\zeta-函数、类数及类域论导引）。书中特别融入张益唐关于有界素数间隔等现代突破的内容。每章配有大量习题（均附完整解答）及参考文献。
本书可作为高校数学类专业数论课程教材或参考书，亦可供数论研究者与爱好者参考。
如果您是数学专业的学生、教师，或是对数论有兴趣的研究者与爱好者，希望本书能成为您书架上的一本有用的参考。
如果您在阅读过程中发现任何翻译的问题，欢迎与我联系。我会及时将发现的问题发布出来。
图书目录
第 0 章 预备知识
- 0.1 通用记号
- 0.2 复分析基础
- 0.3 函数
- 0.3.1 \\zeta-函数与 \\Gamma-函数
- 0.3.2 整数函数
- 0.3.3 和与积
- 0.3.4 指数函数和对数函数
- 0.3.5 比较关系
第 1 章 基础工具
- 1.1 Riemann-Stieltjes 积分
- 1.1.1 定义
- 1.1.2 基本性质
- 1.1.3 分部积分
- 1.1.4 和与积分
- 1.2 分部求和法
- 1.2.1 Abel 变换公式
- 1.2.2 分部求和公式
- 1.3 Euler-Maclaurin 求和公式
- 习题
- 参考文献
第 2 章 线性 Diophantine 方程
- 2.1 初步结果
- 2.1.1 最简情形的解
- 2.1.2 Frobenius 问题
- 2.2 环 (\\mathbb{Z}/n \\mathbb{Z},+, \\times)
- 2.2.1 单位元和零因子
- 2.2.2 Euler 互素函数
- 2.2.3 Euler-Fermat 定理
- 2.3 整数分拆数
- 2.3.1 定义
- 2.3.2 二元整数分拆数
- 2.3.3 k 元整数分拆数
- 2.3.4 生成函数
- 2.3.5 Barnes \\zeta-函数
- 习题
- 参考文献
第 3 章 素数
- 3.1 原根
- 3.1.1 乘性阶
- 3.1.2 原根
- 3.1.3 Artin 猜想
- 3.1.4 高次剩余
- 3.2 素数估计初步
- 3.2.1 Chebyshev 素数函数
- 3.2.2 Chebyshev 估计
- 3.2.3 另一种方法
- 3.2.4 Mertens 定理
- 3.3 Riemann \\zeta-函数
- 3.3.1 Euler, Dirichlet 和 Riemann
- 3.3.2 \\Gamma-函数和 \\theta-函数
- 3.3.3 函数方程
- 3.3.4 逼近函数方程
- 3.3.5 \|\\zeta(s)\| 的估计
- 3.3.6 凸性上界
- 3.3.7 无零点区域
- 3.3.8 无零点区域的改进
- 3.3.9 共振法
- 3.4 Dirichlet L-函数
- 3.4.1 Euclid 与 Euler
- 3.4.2 Dirichlet 特征
- 3.4.3 Dirichlet L-函数
- 3.4.4 级数 \\sum_{p} \\chi (p) p\^{-1}
- 3.4.5 L(1, \\chi) 非零
- 3.4.6 函数方程
- 3.5 素数定理
- 3.5.1 Perron 求和公式
- 3.5.2 素数定理
- 3.5.3 非平凡零点的个数
- 3.5.4 Siegel-Walfisz 定理
- 3.5.5 显式估计
- 3.6 Riemann 假设
- 3.6.1 猜想的起源
- 3.6.2 Hardy 定理
- 3.6.3 Riemann 假设的若干结果
- 习题
- 参考文献
第 4 章 数论函数
- 4.1 基本理论
- 4.1.1 数论函数环
- 4.1.2 加性函数和乘性函数
- 4.1.3 Dirichlet 卷积
- 4.1.4 Möbius 反演公式
- 4.1.5 Dirichlet 双曲律
- 4.2 Dirichlet 级数
- 4.2.1 形式的观点
- 4.2.2 绝对收敛
- 4.2.3 条件收敛
- 4.2.4 解析性质
- 4.2.5 乘性性质
- 4.3 一般的均值结果
- 4.3.1 一个有用的上界
- 4.3.2 一个简单的渐近公式
- 4.3.3 Vinogradov 引理
- 4.3.4 Wirsing 和 Halász 的结果
- 4.3.5 Selberg--Delange 方法
- 4.3.6 对数均值
- 4.3.7 使用函数方程
- 4.3.8 下界
- 4.3.9 短区间上的和
- 4.3.10 次乘性函数
- 4.3.11 加性函数
- 4.3.12 改进
- 4.4 一般乘性函数
- 4.4.1 Möbius 函数
- 4.4.2 无 k 次幂因子数的分布
- 4.4.3 因子的个数
- 4.4.4 互素函数
- 4.4.5 因子的和
- 4.4.6 Hooley 除数函数
- 4.5 多元数论函数
- 4.5.1 定义
- 4.5.2 Dirichlet 卷积
- 4.5.3 Dirichlet 单变元化
- 4.5.4 Dirichlet 级数
- 4.5.5 均值
- 4.6 筛法
- 4.6.1 组合筛法
- 4.6.2 Selberg 筛法
- 4.6.3 大筛法
- 4.7 乘性数论中的若干问题
- 4.7.1 n\^2+1 型无平方因子数
- 4.7.2 Bombieri-Vinogradov 定理
- 4.7.3 素数之间的有界间隔
- 4.7.4 Titchmarsh 除数问题
- 4.7.5 Riemann \\zeta-函数高阶矩的估计
- 4.7.6 Dirichlet-Piltz 除数问题
- 4.7.7 多维除数问题
- 4.7.8 Hardy-Ramanujan 不等式
- 4.7.9 素数无关的乘性函数
- 4.7.10 光滑数
- 习题
- 参考文献
第 5 章 整点
- 5.1 引言
- 5.1.1 短区间上的乘性函数
- 5.1.2 \\mathcal{R}(f, N, \\delta)
- 5.1.3 基本引理
- 5.1.4 Srinivasan 最优化引理
- 5.1.5 差商
- 5.2 整点的判据
- 5.2.1 一阶导数判别法
- 5.2.2 二阶导数判别法
- 5.2.3 k 阶导数判别法
- 5.3 Huxley-Sargos 定理
- 5.3.1 预备引理
- 5.3.2 主弧
- 5.3.3 定理 5.5 的证明
- 5.3.4 应用
- 5.3.5 改进
- 5.4 Filaseta-Trifonov 方法
- 5.4.1 预备引理
- 5.4.2 高阶差商
- 5.4.3 主要结果的证明
- 5.4.4 应用
- 5.4.5 一般化
- 5.5 最近的结果
- 5.5.1 光滑曲线
- 5.5.2 多项式
- 习题
- 参考文献
第 6 章 指数和
- 6.1 \\psi-函数
- 6.1.1 回到除数问题
- 6.1.2 Vaaler 不等式和 Stečkin 不等式
- 6.2 基本不等式
- 6.2.1 Cauchy-Schwarz 不等式
- 6.2.2 Weyl 移位
- 6.2.3 van der Corput 过程 A
- 6.3 指数和估计
- 6.3.1 一阶导数定理
- 6.3.2 二阶导数定理
- 6.3.3 三阶导数定理
- 6.3.4 k 阶导数定理
- 6.4 \\psi-函数的应用
- 6.4.1 一阶导数判别法
- 6.4.2 二阶导数判别法
- 6.4.3 三阶导数判别法
- 6.4.4 Dirichlet 除数问题
- 6.5 指数对方法
- 6.5.1 van der Corput 过程 B
- 6.5.2 指数对
- 6.5.3 应用
- 6.5.4 一个新的三阶导数定理
- 6.6 特征和
- 6.6.1 加性特征与 Gauss 和
- 6.6.2 不完整特征和
- 6.6.3 Kloosterman 和
- 6.7 Hardy-Littlewood 方法
- 6.7.1 圆法
- 6.7.2 离散圆法
- 6.8 Vinogradov 方法
- 6.8.1 引入
- 6.8.2 Vinogradov 均值定理
- 6.8.3 主猜想的证明
- 6.8.4 Walfisz 估计
- 6.9 Vaughan 恒等式
- 6.9.1 引入
- 6.9.2 短区间上的素数
- 6.9.3 von Mangoldt 函数
- 6.9.4 Möbius 函数
- 6.9.5 Heath-Brown 的改进
- 6.9.6 Vaughan 恒等式的变式
- 6.10 Chowla--Walum 猜想
- 6.10.1 猜想的起源
- 6.10.2 相关结果
- 6.11 有限域上的指数和
- 6.11.1 主要结果
- 6.11.2 Mordell 方法概述
- 6.11.3 Mordell 方法的核心
- 6.11.4 进一步的结果
- 习题
- 参考文献
第 7 章 代数数域
- 7.1 引言
- 7.2 代数数
- 7.2.1 一些群论的结果
- 7.2.2 多项式
- 7.2.3 代数数
- 7.2.4 整数环
- 7.2.5 整基
- 7.2.6 关于 \\mathcal{O}_\\mathbb{K} 的定理
- 7.2.7 常见的数域
- 7.2.8 单位和调整子
- 7.3 理想论
- 7.3.1 算术性质
- 7.3.2 分式理想
- 7.3.3 基本定理
- 7.3.4 应用
- 7.3.5 理想的范
- 7.3.6 (p) 的素分解
- 7.3.7 二次域
- 7.3.8 类群
- 7.4 Dedekind \\zeta-函数
- 7.4.1 r_\\mathbb{K} 函数
- 7.4.2 \\zeta_\\mathbb{K} 函数
- 7.4.3 函数方程
- 7.4.4 显式凸性上界
- 7.4.5 亚凸性界
- 7.4.6 无零点区域
- 7.4.7 类数的应用
- 7.4.8 \|d_\\mathbb{K}\| 的下界
- 7.4.9 二次域
- 7.5 代数数论中的若干问题
- 7.5.1 Galois 群的计算
- 7.5.2 Gauss 类数问题
- 7.5.3 Brauer--Siegel 定理
- 7.5.4 类数公式
- 7.5.5 素理想定理
- 7.5.6 理想定理
- 7.5.7 Kronecker-Weber 定理
- 7.5.8 \\mathbb{Q}上的类域论
- 7.5.9 x^2+ny^2 型素数
- 7.5.10 Chebotarëv 密度定理
- 7.5.11 Artin L-函数
- 7.5.12 解析方法
- 习题
- 参考文献
习题的提示与解答
- 第 1 章
- 第 2 章
- 第 3 章
- 第 4 章
- 第 5 章
- 第 6 章
- 第 7 章
- 参考文献