三角形数 - 技术栈

三角形数 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$ 。

从图上看:

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   T₁ = 1        T₂ = 3           T₃ = 6           T₄ = 10
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就像一个三角形一样。

数学性质:

递推关系: $T_{n} = T_{n - 1} + n$
奇偶性: $T_{n}$ 与 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 的奇偶性一致，即 $T_{n}$ 为奇数当且仅当 $n \equiv 1 \pmod{4}$ 或 $n \equiv 2 \pmod{4}$。

$T_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ 所以 $T_{n}$ 与 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 的奇偶性一致。

要判断 $\frac{n (n +1 )}{2}$ 是否为奇数，就需要知道 $n(n + 1)$ 是否包含因子 $2$。

观察 $n$ 和 $n + 1$ 是连续的，其中恰好有一个偶数。设这个偶数为 $2k$，则乘积为 $2k \times \text{奇数}$，在除去分母的 $2$ 后，剩下了 $k \times \text{奇数}$，所以最终的奇偶性是由 $k$ 控制的，$k$ 为奇数，结果就是奇数，反之亦然。

对 $n(n + 1)$ 按 $n$ 模 $4$ 分类:
- $n = 4m$: 偶数部分为 $n = 4m = 2 \times 2m$，则 $k = 2m$ 为偶数 $\to T_{n}$ 为偶数。
- $n = 4m + 1$: 偶数部分为 $n + 1 = 4m + 2 = 2(2m + 1)$，则 $k = 2m + 1$ 为奇数 $\to T_{n}$ 为奇数。
- $n = 4m + 2$: 偶数部分为 $n = 4m + 2 = 2(2m + 1)$，则 $k = 2m + 1$ 为奇数 $\to T_{n}$ 为奇数。
- $n = 4m + 3$: 偶数部分为 $n + 1 = 4m + 4 = 2(2m + 2)$，则 $k = 2m + 2$ 为偶数 $\to T_{n}$ 为偶数。
所以 $T_{n}$ 为奇数当且仅当 $n \equiv 1 \pmod{4}$ 或 $n \equiv 2 \pmod{4}$。

平方关系: 相邻两个三角形数的和为平方数，即 $T_{n - 1} + T_{n} = n^{2}$。

我们将前面的图中的每个三角形进行左对齐:

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   T₁ = 1        T₂ = 3           T₃ = 6           T₄ = 10
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发现任选一个除第一个外的其他三角形，将前面一个三角形翻转后可以完美的补全当前三角形的缺口，形成一个正方形。

前n个三角形数的和:

\ $S_{n} = \\frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} = \\binom{n + 2}{3} \\$

证明:

设 $S_{n} = T_{1} + T_{2} + \cdots + T_{n}$

\ $\\begin{split} S_{n} \&= T_{1} + T_{2} + \\cdots + T_{n} \\\\ \& = \\sum_{k = 1}\^{n} \\frac{k(k + 1)}{2} \\\\ \& = \\frac{1}{2} \\sum_{k = 1}\^{n} \\left(k\^{2} + k \\right)\\\\ \& = \\frac{1}{2} \\left(\\sum_{k = 1}\^{n} k\^{2} + \\sum_{k = 1}\^{n} k \\right) \\end{split} \\$

因为 $k^{2} = 2 \binom{k}{2} + \binom{k}{1}$

证:

\ $\\begin{split} 2 \\binom{k}{2} + \\binom{k}{1} \&= 2 \\times \\frac{k (k - 1)}{2} + k \\\\ \&= k\^{2} - k + k \\\\ \&= k\^{2} \\end{split} \\$

所以

\ $\\begin{split} \\sum_{k = 1}\^{n} k\^{2} \&= \\sum_{k = 1}\^{n}\\left( 2\\binom{k}{2} + \\binom{k}{1} \\right) \\\\ \&= 2\\sum_{k = 1}\^{n} \\binom{k}{2} + \\sum_{k = 1}\^{n} \\binom{k}{1} \\end{split} \\$

其中 $\sum_{k = 1}^{n} \binom{k}{2}$ 可以通过 曲棍球棒恒等式 $\sum_{k = m}^{n} \binom{k}{m} = \binom{n + 1}{m + 1}$ 快速得到。

\ $\\begin{split} \\sum_{k = 1}\^{n} \\binom{k}{2} \&= \\binom{1}{2} + \\sum_{k = 2}\^{n} \\binom{k}{2} \\\\ \&= 0 + \\binom{n + 1}{2 + 1} \\\\ \&= \\binom{n + 1}{3} \\\\ \&= \\frac{(n + 1) \\cdot n \\cdot (n - 1)}{3 \\cdot 2 \\cdot 1} \\\\ \&= \\frac{(n + 1) \\cdot n \\cdot (n - 1)}{6} \\end{split} \\$

而 $\binom{k}{1} = k$，故

\ $\\sum_{k = 1}\^{n} \\binom{k}{1} = \\sum_{k = 1}\^{n} k = \\frac{n(n + 1)}{2} \\$

所以

\ $\\begin{split} S_{n} \&= \\frac{1}{2} \\left(\\sum_{k = 1}\^{n} k\^{2} + \\sum_{k = 1}\^{n} k \\right) \\\\ \&= \\frac{1}{2} \\left( 2\\sum_{k = 1}\^{n} \\binom{k}{2} + \\sum_{k = 1}\^{n} \\binom{k}{1} + \\sum_{k = 1}\^{n} k \\right) \\\\ \&= \\frac{1}{2} \\left( 2\\sum_{k = 1}\^{n} \\binom{k}{2} + 2\\sum_{k = 1}\^{n} k \\right) \\\\ \&= \\frac{(n + 1) \\cdot n \\cdot (n - 1)}{6} + \\frac{n(n + 1)}{2} \\\\ \&= \\frac{(n + 1) \\cdot n \\cdot (n - 1) + 3 \\cdot n \\cdot (n + 1)}{6} \\\\ \&= \\frac{(n + 1) \\cdot n \\cdot (n - 1 + 3)}{6} \\\\ \&= \\frac{n \\cdot (n + 1) \\cdot (n + 2)}{6} \\end{split} \\$