《考研408数据结构》第三章3（数组矩阵）复习笔记

一、一维数组寻找第 $i$ 位元素的地址

已知【起始地址】、【数组每个元素的空间大小：sizeof(ElemType)】，问【第i个元素】在哪个位置

那不就是简单加减乘除：【起始位置】+【第 i 个元素空间地址】×【每1个占多少空间】

只不过要注意数组下标索引开始是0？还是1？

二、二维数组寻找第 $i$ 位元素的地址

1、按【行优先】存储

如图所示，那么公式很简单：

等于：【起始位】+（【第 0 ~ i 行，这些行的所有元素】+【第 j 个元素】）× 【每个空间占多大】

等于：【起始位】+（【第 i 行】×【每1行有多少个元素】+【第 j 列】）× 【每个空间占多大】

注意：

为什么**【** 第 0 ~ i 行的所有元素**】不是** 【第 i-1 行】×【每1行有多少个元素】？

因为数组一般从0开始，所以 i 相当于就是第 "n-1" 行了

为什么**【第 j 个元素】是** 加【第 j 列】，而不是 加【第 j 列】？

因为 j 也是从0开始的，而且求得起始地址是指这个元素 "头" 而不是 "尾"，正如图中蓝色箭头

2、按【列优先】

反过来就行了：

等于：【起始位】+（【第 0 ~ j 列，这些列的所有元素】+【第 i 个元素】）× 【每个空间占多大】

等于：【起始位】+（【第 j 列】×【每1列有多少个元素】+【第 i 行】）× 【每个空间占多大】

【例题】

三、特殊矩阵和数组之间关系

学过线性代数的应该知道，一个矩阵其实就是一个二维数组，型状结构是刚好可以一一对应存储的。然后有些特殊矩阵因为可以取一半的数据来推算另一半，所以可以用于压缩文件，只存一半就行了。

1、对称矩阵

特性：

1、必须是【n × n】的方阵

2、关于主对角线，上三角区的每个元素的标号【i>j】，下三角区的每个元素标号【i<j】

3、关于主对角线，斜着对称的两个元素【aij】=【aji】

所以就只用存放【下三角 + 主对角线】元素、或者只存【上三角 + 主对角线】元素，这就成功压缩了数据；然后解压的时候，根据【aij】=【aji】来推算另一半数据就行了

1）对称矩阵至少要存多少个元素？（可记公式）

记住图中的等差数列求和公式即可，也不用管下标起始0还是1，因为求得是总个数

2）矩阵元素aij ------> 对应的数组的下标位置（前提：存放按【行】优先）

若只存【下三角 + 主对角线】（【i >= j】）

注意：这里矩阵下标是从1开始，数组是从0开始

公式意思是：

前【0 ~ (i-1)】行所有元素之和**+ 第 i 行的第 j 个元素**

记得上面公式求得是【是数组里第几个元素空间】，如果【求下标】还得【-1】

千万别背公式，只用看懂推算逻辑，考试做题时自己画图推算
存【上三角 + 主对角线】（【i <= j】）

注意：这里矩阵下标是从1开始，数组是从0开始

公式意思是：

既然 aij = aji

那么让直接换成【aji】机算，此时 i<=j 情况下，又变回了【下三角】

然后注意！！！！！

换成下三角计算的时候，不能因为【i】和【j】颠倒了，所以****不能再用【行优先】

【牢记】：【上三角按 "行" 优先】=【下三角按 "列" 优先】

具体【按 "列" 优先】怎么算看下面！！！

千万别背公式，只用看懂推算逻辑，考试做题时自己画图推算

3）如果按【列】优先，aij 和数组映射关系又怎么算？

有点抽象，先看图理解，究竟是怎么存放的

注意：这里矩阵下标是从1开始，数组是从0开始

然后看【下三角每一列有几个元素】怎么算：

【这列尾元素】-【这列首元素】+【1】

然后看【下三角第 j 列中，aᵢⱼ 前面有几个元素】：

其实依旧是和上面一样，【这列第 i 个元素】-【这列首元素】+【1】

最后结合一下，【前 j-1 列的总数】+【第 j 列 aᵢⱼ 前面有几个元素】

【前 j-1 列的总数】把等差数列求和：(j-1)(2n - j + 2) / 2

【第 j 列 aᵢⱼ 前面有几个元素】：i - j + 1

合起来共有这么多个元素：【(j-1)(2n - j + 2) / 2】****+【i - j + 1】

换成数组下标的话就-1：【(j-1)(2n - j + 2) / 2】+【i - j 】

千万别背公式，只用看懂推算逻辑，考试做题时自己画图推算

【例题】

例题1：注意这个矩阵的下标也是从0开始的！！！！

例题2：上一题的变式，如果换成【按列优先】存储的话

例题3：

例题4：变条件换成【对称压缩矩阵】，存下三角（i >= j）

例题5

例题6：上题变一下条件？没那么简单的差值可以直接加减了怎么算？

例题7：上三角计算！！！！很容易错！！！！

例题8：一定要做多几次！！！！！！超级超级超级容易错！！！！！！！！！！！！！！！！！！

2、三角矩阵

特征：

就是除了【上三角 + 主对角】或【下三角 + 主对角】，其他位置都是一样的数

那么这些一样的数，就单独在数组最后面【开辟1个空间存】就够了

对应的【元素个数】、【映射关系】

这还不简单，在上面对称矩阵的基础上：

【上或下三角总数 + 尾部1个元素存其他值】

映射关系也是一样的，其他一样的值的区域值存最后一位就行了。。。不多说了

【例题】

3、三对角矩阵（带状矩阵）

特征：

1、标准表述就是：看下标那，若 | i - j | > 1 时，aij=0；

2、直观人话就是 "主对角那附近三条斜线" 非零，其他地方元素都是0

那不是只用存 "主对角那附近三条斜线" 那一坨非零元素就行了吗

对应的【元素个数】、【映射关系】

【元素个数】：

很简单，如图所示

【映射关系】

不好用简单的话解释。。。真没招了自己看图理解吧，我也不知道为啥这么巧妙

反正你就记住：

【（不止1行的）前 i-1 行元素总数】+【（中间行）aij 是第i行第几个元素】

下标是在这个基础上-1

【另外】！！！如果实在不理解【j - i + 2】我们也可以猜【aij 是第i行第几个元素】

我问你，下标从1开始的，A $23$ $24$ 是【这行里：3个要存的非零数】里的【第几个】？------------>A $23$ $23$ 是主对角元素，第23行第2个，so........

A $999$ $998$ 是【这行里：3个要存的非零数】里的【第几个】？------------>A $999$ $999$ 是主对角元素，第999行第2个，so........