是一种贪心策略，通过不断拓展已知的最短路径范围，逐步为每个顶点确定最短距离；基本思想可以概括为以下四个要点：
一、Dijkstra 型标号法
1. 两种标号
- 永久标号：表示从起点到该顶点的最短路径长度已经确定，不再改变。
- 临时标号：表示从起点到该顶点的当前已知最短路径长度（上界），后续迭代中可能被更新。
2. 核心步骤（迭代更新）
- 初始化：起点获得永久标号 00，其余所有顶点获得临时标号 ∞∞。
- 选择 ：在所有临时标号中，找出值最小的顶点。根据贪心策略，该值即为该顶点的最短路径长度，将其从临时标号改为永久标号。
- 更新 ：检查刚刚获得永久标号的顶点，遍历它的所有邻接点。如果通过该顶点到达邻接点的路径比邻接点当前的临时标号更短，就更新该邻接点的临时标号（即"松弛"操作）。
- 终止：重复"选择"和"更新"步骤，直到所有顶点都获得永久标号（或找到了目标点的最短路径）。
3. 核心性质（适用条件）
该思路能够成立的关键在于图中边的权重必须为非负数。
- 因为每次选出的临时标号最小值一旦被转为永久，就不可能通过后续其他顶点（距离更长）绕路来获得更短路径。
- 如果存在负权边，这种方法会失效，此时需要采用 Bellman-Ford 算法（贝尔曼-福特算法）的思路。
4. 本质思想
这是一种按路径长度递增的顺序产生最短路径的方法。算法并不是一次性求出所有最短路径，而是先找到离起点最近的点，然后利用它去"松弛"周围更远的点，就像水波从起点一圈一圈向外扩散一样，直到覆盖整个网络。
举例说明：
下面通过一个简单的例子来演示标号法（Dijkstra算法）的具体过程。
示例图
我们考虑一个有向图，顶点为 A、B、C、D，A 为起点。边的方向和权重如下：
- A → B：4
- A → C：2
- B → C：1
- B → D：5
- C → D：8
（所有权重均为非负数，满足算法使用条件。）
标号法步骤
1. 初始化
- 起点 A 获得永久标号：0
- 其余顶点临时标号：B(∞)、C(∞)、D(∞)
- 已永久顶点集合：{A}
2. 第一次迭代
- 从临时标号中选出最小值：目前只有 A 有永久标号，我们需从 A 的邻接点开始更新。
- 实际算法中，每次选当前临时标号最小的顶点转为永久。初始时，只有 A 有永久标号，我们先利用 A 更新邻接点，然后选出临时标号最小的点。
- 更新 ：从 A 出发，可到达 B 和 C。
- 到 B：min(∞, 0+4) = 4（临时）
- 到 C：min(∞, 0+2) = 2（临时）
- 现在临时标号：B(4)、C(2)、D(∞)
- 选出临时标号最小的顶点：C(2)，将其改为永久标号。已永久：A(0)、C(2)
3. 第二次迭代
- 以 C 为当前永久顶点，更新其邻接点。
- C 可到达 D：min(∞, 2+8) = 10（临时）
- 现在临时标号：B(4)、D(10)
- 选出最小的临时标号：B(4)，将其改为永久。已永久：A(0)、C(2)、B(4)
4. 第三次迭代
- 以 B 为当前永久顶点，更新其邻接点。
- B 可到达 C 和 D。
- 到 C：C 已有永久标号 2，且 4+1=5 > 2，不更新。
- 到 D：min(10, 4+5) = 9（更新临时标号为 9）
- 现在临时标号：D(9)
- 选出最小的临时标号：D(9)，将其改为永久。已永久：A(0)、C(2)、B(4)、D(9)
5. 结束
所有顶点均获得永久标号，结果如下：
- A → A：0
- A → C：2
- A → B：4
- A → D：9（路径 A→B→D，总长 4+5=9，比直接 A→C→D 的 2+8=10 更短）
二、 Bellman-Ford 型标号法
1. 算法步骤
这种算法不追求一次确定顶点距离，而是反复执行松弛操作：
- 初始化所有标号为 ∞，起点为 0
- 重复 n−1 轮（n 为顶点数），每轮对所有边进行松弛
- 第 k 轮结束后，标号表示从起点出发经过不超过 k 条边的最短距离
- 它能处理负权边，并能检测负权环
2. 举例说明
用以下边（起点 A）：
- A→B：3
- A→C：5
- B→C：1
- B→D：2
- C→B：-1 （负权但不成负环，因为 B→C→B = 1+(-1)=0）
- C→D：6
依然有负权边，但无负环。
初始化
dist = [A:0, B:∞, C:∞, D:∞]
第1轮
-
A→B(3): 0+3=3 → B=3
-
A→C(5): 0+5=5 → C=5
-
B→C(1): 3+1=4 < 5 → C=4
-
B→D(2): 3+2=5 → D=5
-
C→B(-1): 4+(-1)=3 = 3 → 不更新
-
C→D(6): 4+6=10 > 5 → 不更新
结果：
[0,3,4,5]
第2轮
-
A→B: 0+3=3 = 3 不更新
-
A→C: 5 > 4 不更新
-
B→C: 3+1=4 = 4 不更新
-
B→D: 3+2=5 = 5 不更新
-
C→B: 4+(-1)=3 = 3 不更新
-
C→D: 4+6=10 > 5 不更新
无变化，提前结束（也可继续至第3轮）。
第2轮无更新，算法终止。最终最短距离：A:0, B:3, C:4, D:5。
问题1：为什么不能存在负权环？
负权环使最短路径失去定义，如果图中存在一个环，且环上所有边的权值之和为负数，那么这个环称为负权环 。由于可以在环上无限次绕行，每绕一圈路径总长度就会减少，因此从起点到环上任意一点（或环上可到达的点）的路径长度可以无限减小，不存在"最短"路径（通常定义为负无穷）。
问题2：为什么最多只需要执行V-1次？
- 第一轮松弛后，
dist[v]是只使用 1 条边 能到达 vv 的最短距离（即直接边）。 - 第二轮松弛时，我们可以利用第一轮的结果，通过"在一条边的基础上再接一条边"来构造长度为 2 的路径，并与已有距离比较，从而得到最多 2 条边的最短距离。
- 依次类推，第 kk 轮结束后，我们实际上已经考虑了所有不超过 kk 条边的路径。
由于最短路径（无负环）不需要超过 ∣V∣−1∣V ∣−1 条边，所以 ∣V∣−1∣V∣−1 轮足以找到所有顶点的最短距离