第一章、线性代数（1）矩阵乘法

一、矩阵相关概念

【矩阵】

由n×m个数排成n行m列的数表称为n行m列的矩阵，简称n×m矩阵。记作：

在学习图论时，存储图的一种方式------邻接矩阵，就是矩阵。所以矩阵用二维数组就可以存储。

【特殊的矩阵】

1、方阵

行数等于列数的矩阵称为方阵。方阵中行数等于列数的元素构成主对角线。

2、三角矩阵

如果方阵主对角线左下方的元素均为0，称为上三角矩阵。例如：

如果方阵主对角线右上方的元素均为0，称为下三角矩阵。例如：

3、对角矩阵

主对角线之外的元素均为0的方阵称为对角矩阵。例如：

4、单位矩阵

主对角线的元素均为1的对角矩阵。例如：

【矩阵的运算】

1、加法、减法和数乘

两个矩阵的加减法为对应元素分别作加减法。注意：只有同型矩阵之间可以做对应相加减！

数乘即为矩阵乘以一个数，结果为矩阵中每个元素都乘以这个数。

矩阵的加减与数乘称为矩阵的线性运算。

2、矩阵乘法

矩阵相乘时只有第一个矩阵的列数 与第二个矩阵的行数相同时才有意义！

设A为n×s的矩阵，B为s×m的矩阵，那么矩阵A与矩阵B的乘积为n×m的矩阵C，其中cij表示矩阵A的第i行与矩阵B的第j列元素分别相乘再相加。

【矩阵的运算规律】

1、线性运算满足交换律、结合律、分配律

·A+B = B+A

·A+B+C = A+(B+C)

·k*（A+B）= k*A + k*B

2、矩阵乘法只满足结合律和分配律

·ABC = A(BC)

·A(B+C) = AB + AC

注意：矩阵乘法可能不满足交换律。因此，在计算矩阵乘法时，前后顺序很重要！

特殊的，任何矩阵乘单位矩阵E，都不会改变：AE = EA = A 。因此，单位矩阵相当于数字1。

二、【模板】矩阵乘法

cpp 复制代码

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m, s;
int a[N][N], b[N][N], c[N][N];

int main()
{
	cin >> n >> m >> s;

	for (int i = 1;i <= n;i++)
		for (int j = 1;j <= m;j++)
			cin >> a[i][j];

	for (int i = 1;i <= m;i++)
		for (int j = 1;j <= s;j++)
			cin >> b[i][j];

	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for (int j = 1;j <= s;j++)
		{
			for (int k = 1;k <= m;k++)
			{
				c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
			}
		}
	}

	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for (int j = 1;j <= s;j++)
		{
			cout << c[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}

	return 0;
}

三、【模板】矩阵快速幂

cpp 复制代码

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 110, mod = 1e9 + 7;

LL k, n;

// 矩阵的结构体
struct matrix
{
	LL m[N][N];

	// 构造函数
	matrix()
	{
		memset(m, 0, sizeof m);
	}

	// 重载乘法运算符
	matrix operator*(const matrix& B) const
	{
		matrix C;
		for (int i = 1;i <= n;i++)
		{
			for (int j = 1;j <= n;j++)
			{
				for (int k = 1;k <= n;k++)
				{
					C.m[i][j] = (C.m[i][j] + m[i][k] * B.m[k][j]) % mod;
				}
			}
		}
		return C;
	}

}A, RET;

void qpow(LL b)
{
    // 把RET变为单位矩阵
	for (int i = 1;i <= n;i++)
		RET.m[i][i] = 1;

	while (b)
	{
		if (b & 1)
		{
			RET = RET * A;
		}

		b >>= 1;
		A = A * A;
	}
}

int main()
{
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1;i <= n;i++)
		for (int j = 1;j <= n;j++)
			cin >> A.m[i][j];

	qpow(k);

	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for (int j = 1;j <= n;j++)
		{
			cout << RET.m[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}

	return 0;
}

四、【练习】矩阵加速

解法：利用矩阵快速幂加速递推，构造出矩阵相乘的形式。

cpp 复制代码

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 5, mod = 1e9 + 7;

struct matrix
{
	LL m[N][N];

	matrix()
	{
		memset(m, 0, sizeof m);
	}

	matrix operator*(const matrix& B) const
	{
		matrix C;
		for (int i = 1;i <= 3;i++)
		{
			for (int j = 1;j <= 3;j++)
			{
				for (int k = 1;k <= 3;k++)
				{
					C.m[i][j] = (C.m[i][j] + m[i][k] * B.m[k][j]) % mod;
				}
			}
		}
		return C;
	}

	void clear()
	{
		memset(m, 0, sizeof m);
	}

}A, RET;

void qpow(LL b)
{
	RET.m[1][1] = RET.m[1][2] = RET.m[1][3] = 1;
	A.m[1][1] = A.m[1][2] = A.m[2][3] = A.m[3][1] = 1;

	while (b)
	{
		if (b & 1)
			RET = RET * A;

		b >>= 1;
		A = A * A;
	}
}

int main()
{
	int T;
	cin >> T;
	while (T--)
	{
		int n;
		cin >> n;

		A.clear();
		RET.clear();

		if (n == 1 || n == 2 || n == 3)
		{
			cout << 1 << endl;
			continue;
		}

		qpow(n - 3);

		cout << RET.m[1][1] << endl;
	}

	return 0;
}