Problem - 1114C - Codeforces[勒让德公式]

Problem - 1114C - Codeforces

我们要计算n! 在b进制下末尾有多少个0 那么我们就可以转化成n! 能够整除b的几次方

那么我们可以将b进行质因数分解 然后分别计算n！中有多少个b的质因数 如果b中某个质因数的个数为 x1 n!中的个数为 x2 那么x2/x1 就是出现次数 对所有质因数取最小的x2/x1 就是b的个数 也就是b的几次方 也就是答案

对于判断n！ 中的某个质数的出现次数 我们可以参考 阶乘分解 那道题的思路

也就是勒让德公式

核心公式

对于正整数 n 和质数 p，n! 中质因子 p 的指数（记作 v_p(n!)）为：

vp​(n!)=⌊n/p​⌋+⌊n/p^2​⌋+⌊n/p^3​⌋+...

求和直到 p^k>n 时停止（此时向下取整结果为 0，无贡献）。

通俗理解

公式的本质是分层统计p的贡献：

1. 第一层 ⌊n/p⌋：统计 1~n 中，至少含 1 个p 的数的个数（即 p 的倍数），每个数至少贡献 1 个p；
2. 第二层 ⌊n/p2⌋：统计 1~n 中，至少含 2 个p 的数的个数（即 p² 的倍数），每个数额外再贡献 1 个p；
3. 第三层 ⌊n/p3⌋：统计至少含 3 个p的数，以此类推。

最终，一个数里包含k个p，就会被恰好统计k次，总和就是n!中p的总指数。

最后统计次数取最小值就是答案：

代码实现如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n,b;
    cin>>n>>b;
    map<int,int>son;
    for(int i=2;i*i<=b;i++){
        while(b%i==0){
            son[i]++;
            b/=i;
        }
    }
    if(b>1)son[b]++;
    int ans=LLONG_MAX;
    for(auto [val,cnt]:son){
        int res=0;
        for(int i=n;i;i/=val)res+=i/val;
        ans=min(ans,res/cnt);
    }
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}