区间dp-基础题目1（石子合并）

解题思路

我们把合并 1 至 n 1至n 1至n堆石子拆解成一个个子问题：

因为合并相邻两堆石子的值我们是可以确定的，已知任意两堆相邻的石子合并的代价之后，对于三堆石子，我们可以考虑两种方法

先合并 1 至 2 1至2 1至2堆，再把前 2 2 2堆和第 3 3 3堆石子合并。
先合并 2 至 3 2至3 2至3堆，再把后 2 2 2堆和第 1 1 1堆石子合并。

对于题目样例，4堆石子，代价分别为4,5,9,4。

①先考虑合并两堆石子的情况

合并区间	$1,2$	$2,3$	$3,4$
代价	9	14	13

②考虑合并三堆石子的情况：

1）前三堆石子合并，如果先合并 1 至 2 1至2 1至2堆，再把前 2 2 2堆和第 3 3 3堆石子合并，代价为 9 + 4 + 5 + 9 = 27 9+4+5+9=27 9+4+5+9=27;如果先合并 2 至 3 2至3 2至3堆，再把后 2 2 2堆和第 1 1 1堆石子合并，代价为 9 + 5 + 4 + 5 + 9 = 32 9+5+4+5+9=32 9+5+4+5+9=32。取较小值，27。

2)后三堆石子合并，如果先合并 2 至 3 2至3 2至3堆，再把 2 至 3 2至3 2至3堆和第 4 4 4堆石子合并，代价为 5 + 9 + 5 + 9 + 4 = 32 5+9+5+9+4=32 5+9+5+9+4=32;如果先合并 3 至 4 3至4 3至4堆，再把 3 至 4 3至4 3至4堆和第 2 2 2堆石子合并，代价为 9 + 4 + 5 + 9 + 4 = 31 9+4+5+9+4=31 9+4+5+9+4=31。取较小值，31。

③考虑合并四堆石子的情况：

1）前三堆石子和第四堆石子合并，根据②，前三堆石子合并的最小代价为27，再和第四堆石子合并，代价为 27 + 4 + 5 + 9 + 4 = 49 27+4+5+9+4=49 27+4+5+9+4=49。

2）前两堆石子和后两堆石子合并，根据①，前两堆石子合并的最小代价为9，后两堆石子合并的最小代价为13，前两堆石子和后两堆石子合并的代价为 9 + 13 + 4 + 5 + 9 + 4 = 44 9+13+4+5+9+4=44 9+13+4+5+9+4=44。

3）第一堆石子和后三堆石子合并，根据②，后三堆石子合并的最小代价为31，一堆石子和后三堆石子合并的最小代价为 31 + 4 + 5 + 9 + 4 = 53 31+4+5+9+4=53 31+4+5+9+4=53。

实现算法

前面的样例模拟过程可以总结以下过程：

我们设 d p $l$ $r$ dp $l$ $r$ dp $l$ $r$ 为合并区间 $l , r$ $l,r$ $l,r$ 内的石子的最小代价。 d p dp dp数组初始化为0。
我们通过前面的分析知道，合并区间 $l , r$ $l,r$ $l,r$ 内的石子的最小代价， d p $l$ $r$ = m i n ( d $l$ $k$ + d p $k + 1$ $r$ ) + 区间 $l , r$ 内所有石子的重量 ( l < = k < r ) dp $l$ $r$ =min(d $l$ $k$ +dp $k+1$ $r$ )+区间 $l,r$ 内所有石子的重量(l<=k<r) dp $l$ $r$ =min(d $l$ $k$ +dp $k+1$ $r$ )+区间 $l,r$ 内所有石子的重量(l<=k<r)。区间内石子的重量，我们实际上可以做一个计算前缀和的预处理，前缀和结果存储在数组 s s s中，这样查询区间 $l , r$ $l,r$ $l,r$ 内所有石子的重量就更高效了。
做完准备工作后，执行以下过程：
1）我们从2开始枚举所有可能的长度 l n ln ln；
2）在枚举长度的循环内，枚举区间的左右端点 l l l和 r r r, l l l从1开始枚举， r r r从 l + l n − 1 l+ln-1 l+ln−1开始枚举，结束条件是 r < = n r<=n r<=n;
3）在枚举区间左右端点的循环内，我们还有枚举断点 k ( l < = k < r ) k(l<=k<r) k(l<=k<r),枚举 k k k的循环中执行状态转移方程： d p $l$ $r$ = m i n ( d p $l$ $r$ , d p $l$ $k$ + d p $k + 1$ $r$ + s $r$ − s $l - 1$ ) dp $l$ $r$ =min(dp $l$ $r$ ,dp $l$ $k$ +dp $k+1$ $r$ +s $r$ -s $l-1$ ) dp $l$ $r$ =min(dp $l$ $r$ ,dp $l$ $k$ +dp $k+1$ $r$ +s $r$ −s $l-1$ )。
4）最后输出答案： d p $1$ $n$ dp $1$ $n$ dp $1$ $n$

AC代码

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n, m[1005], s[1005], dp[1005][1005];
signed main() {
	cin >> n;
	memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> m[i];
		s[i] = s[i - 1] + m[i];
		dp[i][i] = 0;
	}
	for (int ln = 2; ln <= n; ln++) {
		for (int l = 1, r = l + ln - 1; r <= n; l++, r++) {
			for (int k = l; k < r; k++) {
				dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][k] + dp[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
			}
		}
	}
	cout << dp[1][n];
	return 0;
}