【每天学习一点算法 2026/04/02】最长递增子序列

每天学习一点算法 2026/04/02

题目：最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如， $3,6,2,7$ 是数组 $0,3,1,6,2,2,7$ 的子序列。

动态规划

动态规划就是先找规律

我们设 dp[i] 是截至下标 i 处最长严格递增子序列的长度，那么 dp[i] 的值应该等于他之前的最长严格递增子序列长度 + 1

我们需要向前找到 nums[j] < nums[i] 的项，找出其中最大的 dp 值。

typescript 复制代码

function lengthOfLIS(nums: number[]): number {
  const dp = new Array(nums.length).fill(1) // 初始化dp数组，最短子序列都是1
  // 遍历数组计算 dp 值
  for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
    // 往前遍历元素，计算当前位置最长子序列长度
    for (let j = i - 1; j >= 0 ; j--) {
      if (nums[j] < nums[i]) {
        // 只有 nums[j] < nums[i] 时，才有可能是子序列
        // 找到前方最长的递增子序列 + 1
        dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)
      }
    }
  }
  return Math.max(...dp) // 返回最长的子序列长度
};

贪心算法 + 二分法

这个方法是看了官方题解才知道的

这个方法的核心就是：我们如果要保证子序列最长递增，那就得使每个上升的元素也就是下一个元素，尽可能的小，于是我们可以维护一个数组，使这个数组的最后一项为递增子序列的最小可能值。

我们以这个 [10,9,2,5,3,7,101,18] 为例

第一项 10 只有一项肯定最短 [10]
接下来 9，它是小于 10 , 后面大于 9 的数肯定是比大于 10 的数多的，直接替换 [9]
接下来 2，同理直接替换 [2]
接下来 5，他是大于我们最后一项 2 的，那么我们可以直接将它插入最长子序列 [2, 5]
接下来 3，他是小于 5 的，那我们就需要在维护的数组里找到第一个大于它的元素，也就是 5 ，替换掉它 [2, 3]
接下来 7，直接插入 [2, 3, 7]
接下来 101，直接插入 [2, 3, 7, 101]
接下来 18，替换掉第一个大于大的 101 [2, 3, 7, 18]

其实我们发现，这个流程下来得到的结果并不是我们最终的最长子序列，比如我们把 3 换成 1，最终结果就会变成 [1, 5, 7, 18]，本来应该是 [2, 5, 7, 18]，但是我们可以看出遇到小于最后一位我们只做了替换操作不会影响数组的长度，因为我们无法保证后续元素中小于末尾的元素个数，上面的例子是一个理想的情况，感觉只需要替换最后一个元素就行了，觉得有疑问的可以尝试一下 [9, 10, 1, 2, 3, 4]，我们只有不断的往前替换元素，才能保证数组的最后一位是可能子序列的最小末尾数。

typescript 复制代码

function lengthOfLIS(nums: number[]): number {
  const res = [nums[0]] // 
  for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
    if (res[res.length - 1] >= nums[i]) {
      let left = 0, right = res.length - 1, pos = nums.len - 1 // 默认替换末尾
      while (left <= right) {
        const mid = Math.floor((left + right) / 2)
        if (res[mid] >= nums[i]) {
          // 由于是向下取整的，所以需要在左边处理时记录当前位置为替换位置
          pos = mid
          right = mid - 1
        } else {
          // 第一个大于 nums[i] 右侧
          left = mid + 1
        }
      }
      res[pos] = nums[i] // 修改对应位置
    } else {
      res.push(nums[i]) // 末尾添加
    }
  }
  return res.length // 返回最终长度
};

题目来源：力扣（LeetCode）