一、二叉树的存储结构
1. 顺序存储
- 适用条件：仅适用于完全二叉树或满二叉树，深度为k的二叉树最多有2^k-1个结点
- 存储方式：从上到下、从左往右依次存入连续地址空间，空结点也需保留位置
- 空间效率：非完全二叉树会浪费大量存储空间（如示例中非完全二叉树存储时出现多个空位）
- 特点：通过物理位置表示逻辑关系，不能随意调整结点位置
2. 链式存储
1）二叉链表
- 结点结构：每个结点包含三部分
- 左指针域：存储左孩子地址（无左孩子时为空）
- 数据域：存储结点编号/关键字等实际信息
- 右指针域：存储右孩子地址（无右孩子时为空）
- 优势：相比顺序存储更节约空间，适合普通二叉树
- 局限：无法直接获取双亲结点信息（单向链接）
2）三叉链表
- 结点结构：在二叉链表基础上增加第四部分
- 双亲指针域：存储双亲结点地址（形成双向链接）
- 特点：每个结点包含数据域+三个指针域（左、右、双亲）
- 应用场景：需要频繁查找父结点的情况
二、二叉树的遍历
- 核心原则：每个结点访问且仅访问一次
- 分类依据：根据访问根结点的次序不同分为四种方法
1. 中序遍历法
- 访问顺序：左子树→根结点→右子树（递归执行）
- 记忆口诀："左中右"
- 递归特性：处理子树时仍需采用中序遍历法
1）例题:二叉树中序遍历
- 解题步骤：
- 从根结点A开始，先处理左子树BDG
- 对B结点执行"左中右"：无左子→访问B→处理右子树DG
- 对D结点执行"左中右"：访问G→访问D→无右子
- 返回访问根结点A
- 处理右子树ECHFI：访问E→访问C→处理右子树HFI
- 对F结点执行"左中右"：访问H→访问F→访问I
- 最终序列：B→G→D→A→E→C→H→F→I
- 技巧：可默念"左中右"辅助分析，注意递归处理每棵子树
三、最优二叉树
1. 最优二叉树的概念
- 别名：又称哈夫曼树（Huffman Tree），音译不同时也可能称为霍夫曼树
- 核心特征：是一类带权路径长度最短的树结构
- 权值定义：人为赋予的概念，实践中可表示节点访问频率等，不同场景可能有不同含义
- 路径长度：节点到根节点之间的连线数量（如全值为4的节点路径长度为2）
- 节点带权路径长度：路径长度×节点权值（如路径长度2×权值2=4）
- 树的带权路径长度：所有叶子节点带权路径长度之和（不包括内部节点）
2. 应用案例
1）例题:哈夫曼树构造
- 构造原理：
- 初始：将每个权值作为独立树（如{30,25,15,22,8}）
- 迭代：每次合并权值最小的两棵树，新根权值为子树权值和
- 终止：集合中只剩一棵树时即为哈夫曼树
- 构造示例：
- 合并最小权值8和15→新节点23
- 合并22和23→新节点45
- 合并25和30→新节点55
- 最后合并45和55→根节点100
- 注意事项：
- 构造结果不唯一（左右子树可互换）
- 仅叶子节点保留原始权值
- 标准步骤：
- 创建n棵单节点树构成森林F
- 选取F中权值最小的两棵树合并
- 新树根权值=左右子树根权值之和
- 重复步骤2-3直到只剩一棵树
3. 最优二叉树的一个应用
- 典型应用：字符编码与译码系统
- 实现原理：
- 高频字符分配短编码（靠近根节点）
- 低频字符分配长编码
- 保证编码的前缀特性（无二义性）
- 教材参考：具体案例参见教材第96页示例
四、二叉查找树
1. 二叉查找树的定义
- 别称：又称为二叉排序树
- 结构性质：
- 是一棵空树，或满足以下性质的二叉树：
- 左子树规则：若左子树非空，则左子树上所有结点的关键码值均小于根结点的关键码值
- 右子树规则：若右子树非空，则右子树上所有结点的关键码值均大于根结点的关键码值
- 递归性质：左、右子树本身也必须是二叉查找树
- 是一棵空树，或满足以下性质的二叉树：
- 遍历特性：
- 中序有序性：对二叉查找树进行中序遍历，可得到关键码递增有序的结点序列
- 核心优势：
- 查找效率：相比普通二叉树，能更高效地进行数值查找
2. 应用案例
1）例题：二叉查找树例子
- 正确示例分析：
- 根节点46的左子树(43,38,25)均小于46
- 右子树(54,98,62,91)均大于46
- 子树验证：
- 左子树13的左节点4<13，右子树25<38
- 右子树54的右子树98>54，62<98且91>62
- 错误示例分析：
- 根节点54的右子树出现46<54，违反右子树规则
- 中序遍历结果将出现54后接46的逆序情况
- 查找演示：
- 查找98：46→54→98（比较3次）
- 查找62：46→54→98→62（比较4次）
- 每次比较可排除一半子树，类似二分查找
- 查找原理：
- 从根节点开始比较：
- 目标值=当前节点：查找成功
- 目标值<当前节点：进入左子树
- 目标值>当前节点：进入右子树
- 从根节点开始比较：
- 效率对比：
- 普通二叉树需要遍历所有节点
- 二叉查找树平均时间复杂度为O(logn)
- 验证方法：
- 中序遍历结果必须严格递增
- 每个节点需满足左<根<右的递归关系
五、知识小结
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| 知识点 | 核心内容 | 考试重点/易混淆点 | 难度系数 |
| 二叉树的存储结构 | 分为顺序存储（适合完全/满二叉树）和链式存储（适合普通二叉树，含二叉链表和三叉链表） | 顺序存储的浪费问题（非完全二叉树不适用） 三叉链表的双向特性（比二叉链表多存储双亲节点指针） | ⭐⭐ |
| 二叉树的遍历方法 | 中序（左根右）、前序（根左右）、后序（左右根） 示例：中序遍历结果为 b g d a e c h f i | 递归定义的应用 考试高频：根据树形写出遍历序列 | ⭐⭐⭐ |
| 最优二叉树（哈夫曼树） | 带权路径长度最短的树 构造方法：每次合并权值最小的两节点，生成新节点（权值为和） | 带权路径长度计算（仅叶子节点参与） 非唯一性（左右子树顺序可调换） | ⭐⭐⭐⭐ |
| 二叉查找树（二叉排序树） | 性质：左子树节点值 < 根节点值 < 右子树节点值 作用：中序遍历得有序序列，查找效率高（类似二分查找） | 判定标准（需递归满足性质） 易错点：右子树出现小于根节点的值即非法 | ⭐⭐⭐ |
| 对比维度 | 存储效率：顺序存储 vs 链式存储 遍历复杂度：递归实现 vs 非递归实现 应用场景：哈夫曼编码 vs 二叉查找树检索 | | |