【华为机考真题】动态规划之遗迹探险家小红（含C++源码）

0. 前言

本文要介绍的一道题是动态规划的经典变种------二维费用背包问题，这是华为机考的第三题，也就是压轴题，有一定难度，下面我们进入正题。

1. 题目描述

小红在遗迹中收集宝藏。

遗迹中共有 n 件宝藏，收集第 i 件宝藏需要花费的时间为 t_i，价值为 p_i。

总探险时间不能超过 T，若 t_i > 30，则视为重型宝藏，重型宝藏的总数不得超过 m 个，并且每件宝藏只能收集一次。

满足上面限制的条件下，求小红能获得的最大价值总和。

输入和输出描述如下：

输出：一个整数，表示小红能获得的最大总价值。

2. 题目分析

在上一篇的幻兽防御战中，可以靠 排序+贪心 轻松解决。但在本题中：

重型宝藏虽然价值高，但是它会占用重型宝藏的名额，并且耗时往往更长。
选择了一个重型宝藏，可能会导致无法选择后面更优的两个普通宝藏的组合。
当存在 互斥的多种约束 时，局部最优不等于全局最优，这时我们需要 穷举所有状态并记录最优解 ，这正是 动态规划 存在的意义。

3. 动态规划思路分析

3.1 确定dp数组的含义

本题中存在两个限制，分别是总时间 T 和重型宝藏名额 m。

我们定义：dp[j][k] 代表在剩余时间为 j，剩余重型名额为 k 时，能获得的最大价值。

3.2 确定状态转移方程

对于每一件宝藏，我们需要选择拿还是不拿。

如果不拿，那么 dp[j][k] 保持不变。
当剩余资源 j 和 k 允许时，我们可以选择拿，拿了之后需要判断是普通宝藏还是重型宝藏：
- 普通宝藏 ：t_i <= 30，dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - t_i][k] + p_i)。
- 重型宝藏 ：t_i > 30，dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - t_i][k - 1] + p_i)

3.3 其他需要注意的点

所有的 dp[j][k] 初始化为 0，代表初始状态下没有收集任何宝藏。

为了保证每件宝藏只被收集一次，内层循环（时间 j 和名额 k）必须采用逆序遍历。

按照这个思路，每一轮循环都会基于上一轮的结果更新当前的最高价值。

4. 代码实现

完整代码如下：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <sstream>

using namespace std;

int main() {
    string line;
    getline(cin, line);
    stringstream ss(line);
    int n,T,m;

    ss >> n >>T >> m;

    vector<vector<int>> dp(T+1, vector<int> (m+1, 0));

    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        int t_i,p_i;
        getline(cin, line);
        stringstream ss1(line);
        ss1 >> t_i >> p_i;//读到每件宝藏的时间和价值

        if(t_i > 30)//重型宝藏
        {
            for(int j=T; j>=t_i; j--)
            {
                for(int k=m; k>=1; k--)
                {
                    dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j-t_i][k-1]+p_i);
                }
            }
        }
        else 
        {
            for(int j=T; j>=t_i; j--)
            {
                for(int k=m; k>=0; k--)
                {
                    dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j-t_i][k]+p_i);
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[T][m];
    return 0;
}

5. 几类动态规划问题方法梳理

我将常见的几类动态规划问题整理成下面的表格：