1 什么是概率
概率是一个介于 000 和 111 之间的数（包含 000 和 111），用于衡量事件发生的可能性:
- 当概率为 000 时，代表这个事件绝对不可能发生;
- 当概率为 111 时，代表这个事件必然会发生;
- 当概率在 000 到 111 之间时，数值越大，事件发生的可能性就越大。
1.1 样本空间和事件
1.1.1 样本空间
样本空间（Sample Space）：指一个随机试验中，所有可能出现的结果的集合，通常用符 Ω\OmegaΩ（大写希腊字母欧米伽）表示。
1.1.2 事件
事件（Event），指样本空间的一个子集，通常用大写字母A、B、C等表示。事件可以是单个 结果，也可以是 多个结果 的组合。
1.2 随机变量
随机变量（Random Variable）是一个函数，这个函数将样本空间中的每一个结果，对应到一个实数。简单来说，就是给随机试验的每个可能结果贴一个 数字标签，把非数值结果转化为 数值 结果，让我们可以用数学方法分析概率。
1.3 具体事例
假设某抽奖活动，总共有 100010001000 张奖券，其中一等奖 101010 张、二等奖 505050 张、三等奖 100100100 张，其余为无奖券。
- 样本空间（Ω\OmegaΩ）
对应抽奖的所有可能结果，即 100010001000 张奖券的集合，每张奖券都是一个独立的结果，因此 样本空间 Ω\OmegaΩ 的总结果数 = 100010001000，且每张奖券被抽中的可能性相等。
- 事件
对应我们关心的抽奖结果，例如我们关注以下两个事件：
(1) 事件 A："抽中一等奖"，是 样本空间 的一个子集，包含的结果数 = 101010；
(2) 事件 B："抽中获奖奖券"，同样是 样本空间 的子集，包含的结果数=10+50+100=160包含的结果数 = 10+50+100 = 160包含的结果数=10+50+100=160，即 一等奖、二等奖、三等奖奖券的总和。
- 随机变量
我们定义 随机变量 X，用于量化抽奖结果，方便后续概率计算，赋值如下：
X = 抽中奖券的奖项等级，无奖记为 000，三等奖记为 111，二等奖记为 222，一等奖记为 333。
此时，随机变量 X 的可能取值为 000、111、222、333，分别对应抽奖的四种结果，将 抽中某类奖券 的非数值描述，转化为了可计算的数值，这就是 随机变量 的核心作用。
2 概率的法则
2.1 事件的概率
样本空间 中全部 事件 的概率和为 111。由于任意 事件 都属于 样本空间，而 样本空间 包含 事件 的所有可能结果，因此样本空间中任意 事件 发生的 概率 总是小于或等于1。对于任意 事件 A：
0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 10≤P(A)≤1
对于 样本空间 中的所有 事件 AiA_{i}Ai：
ΣiP(Ai)=1\Sigma_{i} P(A_{i}) = 1ΣiP(Ai)=1
例如，掷一枚有6个面的骰子，任意面朝上的概率都相等，均为 16\frac{1}{6}61。样本空间 中所有 事件 的概率和应该为 111。
P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=16P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=16+16+16+16+16+16=1 \begin{aligned} & P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6} \\ &\begin{aligned} P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) &= \frac{1}{6} + \frac{1}{6}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{6} \\ &=1 \end{aligned} \end{aligned} P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=61P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=61+61+61+61+61+61=1
如果事件 AAA 发生的概率为 P(A)P(A)P(A)，那么事件 AAA 不发生的概率为
P(Aˉ)=1−P(A) P(\bar{A}) = 1 - P(A) P(Aˉ)=1−P(A)
其中，Aˉ\bar{A}Aˉ 读作 非A，表示 AAA 的补。
举个例子，掷一枚骰子，结果在区间 [1,6][1,6][1,6] 的概率为 111，但结果为 444 的概率是 16\frac{1}{6}61。因此，结果不是 444 的概率就等于其他所有可能结果的概率之和：
P(4ˉ)=1−P(4)=1−16=56≈0.8333⋯ \begin{aligned} P(\bar{4}) &= 1 - P(4) \\ &= 1 - \frac{1}{6} \\ &= \frac{5}{6} \\ &\approx 0.8333 \cdots \end{aligned} P(4ˉ)=1−P(4)=1−61=65≈0.8333⋯
如果掷两次骰子，那么 样本空间 的取值范围是 222 到 121212 的整数区间。要想计算各个求和结果的概率，我们就要列举它们各自出现的所有可能。然后把各自可能事件的总数除以全部事件的总数，得到各自的出现概率。下表展示了如何列举所有的可能结果。
| 求和结果 | 组合 | 组合的数量 | 概率（近似值） |
|---|---|---|---|
| 222 | 1+11 + 11+1 | 111 | 0.02780.02780.0278 |
| 333 | 1+2,2+11+2, 2+11+2,2+1 | 222 | 0.05560.05560.0556 |
| 444 | 1+3,3+1,2+21+3,3+1,2+21+3,3+1,2+2 | 333 | 0.08330.08330.0833 |
| 555 | 1+4,2+3,3+2,4+11+4,2+3,3+2,4+11+4,2+3,3+2,4+1 | 444 | 0.1111 |
| 666 | 1+5,2+4,3+3,4+2,5+11+5,2+4,3+3,4+2,5+11+5,2+4,3+3,4+2,5+1 | 555 | 0.1389 |
| 777 | 1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+11+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+11+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1 | 666 | 0.1667 |
| 888 | 2+6,3+5,4+4,5+3,6+22+6,3+5,4+4,5+3,6+22+6,3+5,4+4,5+3,6+2 | 555 | 0.1389 |
| 999 | 3+6,4+5,5+4,6+33+6,4+5,5+4,6+33+6,4+5,5+4,6+3 | 444 | 0.1111 |
| 101010 | 4+6,5+5,6+44+6,5+5,6+44+6,5+5,6+4 | 333 | 0.0833 |
| 111111 | 5+6,6+55+6,6+55+6,6+5 | 222 | 0.0556 |
| 121212 | 6+66+66+6 | 111 | 0.0278 |
| 合计 | 36 | 1.0000 |
掷两次骰子的结果一共构成 363636 种可能组合。两次加在一起为 777 的概率最大，共666种组合。
222 和 121212 的概率最小，各自只对应1种组合。
由于 777 对应 666 种组合，因此结果为7的概率为 636≈0.1667\frac{6}{36} \approx 0.1667366≈0.1667。
再看一个例子，同时掷三枚硬币，那么结果为 零次正面、一次正面、两次正面 和 三次正面 的 概率 分别是多少？我们可以通过列举法来计算，如下表。
| 正面的硬币数 | 组合（T表示反面，H表示正面） | 组合的数量 | 概率 |
|---|---|---|---|
| 000 | TTT | 111 | 0.1250.1250.125 |
| 111 | HTT,THT,TTH | 333 | 0.3750.3750.375 |
| 222 | HHT,HTH,THH | 333 | 0.3750.3750.375 |
| 333 | HHH | 111 | 0.1250.1250.125 |
| 合计 | 8 | 1.0001.0001.000 |
下面通过 python 代码证明上面的概率是否正确：
python
import numpy as np
# 进行 1000000 轮实验
N = 1000000
# 每轮扔 3 个硬币
M = 3
# 生成包含 4 个元素的数组
# 元素的初始值为 0
# 用于记录上表中，每种结果的次数
heads = np.zeros(M+1)
# 进行 1000000 轮实验
for i in range(N):
# 模拟每次实验，扔 3 枚硬币
# 随机生成 3 个元素的数组，每个元素为 0（反面） 或 1（正面）
flips = np.random.randint(0, 2, M)
# 统计 0 出现多少次、1 出现多少次
# 这里用 h 接收 1 出现的次数，0 出现的次数不管
# minlength=2 强制输出长度一定是 2，避免数据只有 0 或只有 1 时报错
_, h = np.bincount(flips, minlength = 2)
# 对应的结果次数 + 1
heads[h] += 1
# 计算每个结果的概率
prob = heads / N
# 打印每个结果的概率
print(f'Probabilities: {np.array2string(prob)}')以上代码模拟了 100000010000001000000 次(NNN)掷三枚硬币(MMM)的实验:
(1) 零次、一次、两次 或 三次 正面朝上的次数被保存在变量 heads 中;
(2) 每次实验都挑选 333 个位于区间 [0,1][0,1][0,1] (flips)的整数，然后统计正面(111)的次数;
(3) 用 np.bincount 统计正面的次数并累加到变量 heads中。接下来进行下一次实验，以此循环迭代。
(4) 当全部模拟实验完成后，用 heads除以总实验次数，得到概率(prob), 输出：
markdown
Probabilities: [0.125115 0.375361 0.374271 0.125253]2.2 事件互斥的加法法则
概率加法法则（Addition Rule of Probability），是用来计算两个事件中至少有一个发生的概率的核心公式，需要理解以下两个概念：
- 互斥事件（Mutually Exclusive Events）
两个事件不可能同时发生，它们的交集为 空集 (A∩B)=∅(A \cap B)=\emptyset(A∩B)=∅。
比如：掷骰子时，掷出 1 点 和 掷出 2 点 就是 互斥事件。
- 相容事件（Non-Mutually Exclusive Events）
两个事件可以同时发生，它们的交集不为 空集 (A∩B)≠∅(A \cap B) \neq \emptyset(A∩B)=∅
比如：掷骰子时，掷出偶数点 和 掷出点数大于 3 就是相容事件。
2.2.1 互斥事件的加法法则具体事例
若 事件A 和 B 不能同时发生，即一次最多只能发生其中一个事件，则称事件A和B 互斥。
比如：掷骰子时，掷出 1 点 和 掷出 2 点 就是 互斥事件，它们的 交集 为 空集 (A∩B)=∅(A \cap B)=\emptyset(A∩B)=∅。
如果 A事件 为掷出 1 点，B事件 为 掷出 2 点，则 A 发生 或 B 发生 的 概率，等于两个事件各自 概率的和：
P(A)∪P(B)=P(A)+P(B)P(A) \cup P(B) = P(A) + P(B)P(A)∪P(B)=P(A)+P(B)
又例如掷两次硬币的 结果 的 样本空间 是 HH,HT,TH,TT{HH,HT,TH,TT}HH,HT,TH,TT（TTT 表示反面，HHH 表示正面），所以结果为两次正面或两次反面的概率是：
P(HHorTT)=P(HH)+P(TT)=14+14=12 \begin{aligned} P(\text{HH} \quad or \quad TT) &= P(HH) + P(TT) \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} P(HHorTT)=P(HH)+P(TT)=41+41=21
2.3 乘法法则
相比 加法法则 回答 事件A 发生或 事件B 发生的 概率，乘法法则 回答的是 事件A 发生且 事件B 也发生的 概率：
P(AandB)=P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \quad and \quad B)=P(A \cap B)=P(A)P(B)P(AandB)=P(A∩B)=P(A)P(B)
2.3.1 事件互斥时的乘法法则
如果 事件A 和 B互斥，则可以很快得出 P(A∩B)=0P(A \cap B)=0P(A∩B)=0，因为如果 事件A 以概率 P(A)P(A)P(A) 发生，那么 事件B 发生的概率 P(B)=0P(B)=0P(B)=0，因而两者的乘积为 000。同样，如果 事件B 发生，那么 P(A)=0P(A)=0P(A)=0。
2.3.2 事件不互斥时的乘法法则
假定世界上有 80%80\%80% 的人眼睛是棕色，并且其中有 50%50\%50% 是女性。那么，如果随机挑选一人，她是 女性 并且眼睛是 棕色 的 概率 是：
P(女性，棕色眼睛)=P(女性)×P(棕色眼睛)=0.5×0.8=0.4 \begin{aligned} P(女性，棕色眼睛) &= P(女性) \times P(棕色眼睛) \\ &= 0.5 \times 0.8 \\ &= 0.4 \end{aligned} P(女性，棕色眼睛)=P(女性)×P(棕色眼睛)=0.5×0.8=0.4
结果是，有 40%40\%40% 的概率随机选到 棕色眼睛 的 女性。
乘法法则并不局限于两个事件。例如，根据保险公司的数据，在美国在任意一年中有 11222000\frac{1}{1222000}12220001 即大约 0.0000820.000082%0.000082 的 概率 遭到雷击，那么一名拥有 棕色 眼睛的美国 女性，在一年中遭到雷击的概率是：
P(女性，棕色眼睛，遭到雷击)=P(女性)×P(棕色眼睛)×P(遭到雷击)=0.5×0.8×0.00000082≈0.00000033=0.000033% \begin{aligned} P(女性，棕色眼睛，遭到雷击) &= P(女性) \times P(棕色眼睛) \times P(遭到雷击)\\ &= 0.5 \times 0.8 \times 0.00000082 \\ &\approx 0.00000033 \\ &=0.000033\% \end{aligned} P(女性，棕色眼睛，遭到雷击)=P(女性)×P(棕色眼睛)×P(遭到雷击)=0.5×0.8×0.00000082≈0.00000033=0.000033%
2.4 事件不互斥的加法法则
如果 事件A 和 事件B 不互斥，直接相加会重复计算 两个事件同时发生 的部分，因此需要减去 交集 的 概率：
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
因为，P(A)P(A)P(A) 包含了 只发生 A 和 A、B 同时发生，P(B)P(B)P(B) 包含了 只发生 B 和 A、B 同时发生，相加后 交集 部分被算了两次，所以要减去一次 P(A∩B)P(A \cap B)P(A∩B)。
例如，扔两个骰子，求 点数和为 7 或 第一个骰子掷出 6 的 概率:
(1) 事件 AAA：点数和为 777，从表格可知组合有 666 种，P(A)=636=16≈0.1667P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} \approx 0.1667P(A)=366=61≈0.1667；
(2) 事件 BBB：第一个骰子掷出 666，组合有 (6,1),(6,2)...(6,6) 共 666 种，P(B)=636=16≈0.1667P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} \approx 0.1667P(B)=366=61≈0.1667；
(3) 事件 A∩BA \cap BA∩B：点数和为 7 且 第一个骰子为 6，只有 (6,1) 这 111 种组合，P(A∩B)=136≈0.0278P(A∩B)=\frac{1}{36} \approx 0.0278P(A∩B)=361≈0.0278;
(4) 代入公式计算：
P(A∪B)=636+636−136=1136≈0.3056 \begin{aligned} P(A \cup B) &= \frac{6}{36} + \frac{6}{36} - \frac{1}{36} \\ &= \frac{11}{36} \\ &\approx 0.3056 \end{aligned} P(A∪B)=366+366−361=3611≈0.3056
2.5 生日难题
生日难题，全称生日悖论 / 生日问题（Birthday Problem），是概率论里最经典、最反直觉的古典概率计算问题。
2.5.1 生日难题的意义
它解决这样一个难题：
一个房间里平均需要有多少人，才能使他们中有两个人的生日在同一天的 概率 大于 50%50\%50%？
2.5.2 使用概率乘法解决生日难题
在不考虑闰年情况下，随意挑选的两人在同一天出生的 概率，等于 365365365 天里任意一天被选中的 概率。由于 样本空间 是365365365 天，而每一天被选中的可能性相同，因此有:
P(两人生日相同)=1365≈0.00274P(两人生日不同)=1−1365=364365≈0.9973 \begin{aligned} &P(两人生日相同) = \frac{1}{365} \approx 0.00274\\\\ &P(两人生日不同) = 1 - \frac{1}{365} = \frac{364}{365} \approx 0.9973 \end{aligned} P(两人生日相同)=3651≈0.00274P(两人生日不同)=1−3651=365364≈0.9973
如果，随即抽两对人，那么这两对人都 不在同一天 生日的 概率 是：
P(两对人生日均不同)=P(第一对人生日不同)×P(第二对人生日不同)=364365×364365≈0.9945=99.45% \begin{aligned} P(两对人生日均不同) &=P(第一对人生日不同) \times P(第二对人生日不同) \\ &=\frac{364}{365} \times \frac{364}{365} \\ &\approx 0.9945 \\ &=99.45 \% \end{aligned} P(两对人生日均不同)=P(第一对人生日不同)×P(第二对人生日不同)=365364×365364≈0.9945=99.45%
类似地，随即抽 3 对人，这三对人都 不在同一天 生日的 概率 是：
P(三对人生日均不同)=P(第一对人生日不同)×P(第二对人生日不同)×P(第三对人生日不同)=364365×364365×364365 \begin{aligned} P(三对人生日均不同) &=P(第一对人生日不同) \times P(第二对人生日不同) \times P(第三对人生日不同) \\ &=\frac{364}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{364}{365} \end{aligned} P(三对人生日均不同)=P(第一对人生日不同)×P(第二对人生日不同)×P(第三对人生日不同)=365364×365364×365364
同理，对于 nnn 对人选的生日都不同的情况：
P(n对人生日均不同)=(364365)n P(n对人生日均不同)=\begin{pmatrix}\frac{364}{365} \end{pmatrix}^{n} P(n对人生日均不同)=(365364)n
因此，现在解决问题，就要找到最小的 nnn，使得所有人选的生日全都不同的概率小于 50%50\%50%，而 nnn 是房间内人数 mmm 的函数。
对于从 mmm 个人中同时挑选 kkk 个进行 组合，总共的 组合 数为：
C(m,k)=(mk)=m!k!(m−k)! C(m,k) = \begin{pmatrix}m\\k\end{pmatrix}=\frac{m!}{k!(m-k)!} C(m,k)=(mk)=k!(m−k)!m!
在生日难题中，每次抽 222 个人作为一对人，k=2k=2k=2。因此，计算步骤：
(1) 先计算出需要的对数 nnn
(2) 再根据 组合公式，看看当 k=2k=2k=2 时，mmm 需要是多少才能得出 nnn 种 组合。
可以用如下简单的Python循环来计算n：
python
# 循环300次
for n in range(300):
# 当 n 对人生日都不相同的概率小于0.5时，输出n
# 此时 n 就是使 生日都不相同的概率小于0.5 的对数
if ((364 / 365)**n < 0.5):
print(n)
break最终结果为 n=253n = 253n=253。即，需要 253253253 对人选才能使至少有一对人选在同一天出生的概率大于50%50\%50%。
此时，上面的组合式中，k=2k = 2k=2，结果为 253253253 即：
C(m,2)=(m2)=m!2!(m−2)!=253 \begin{aligned} C(m,2) &= \begin{pmatrix}m\\2\end{pmatrix} \\ &=\frac{m!}{2!(m-2)!} \\ &=253 \end{aligned} C(m,2)=(m2)=2!(m−2)!m!=253
现在，就是要求 m:
m!2!(m−2)!=m(m−1)(m−2)!2(m−2)!=m(m−1)2=m2−m2=253 \begin{aligned} \frac{m!}{2!(m-2)!} &=\frac{m(m-1)(m-2)!}{2(m-2)!} \\ &=\frac{m(m-1)}{2} \\ &=\frac{m^2 - m}{2} \\ &=253 \end{aligned} 2!(m−2)!m!=2(m−2)!m(m−1)(m−2)!=2m(m−1)=2m2−m=253
所以，现在变成了解方程 m2−m−506=0m^2 - m - 506 = 0m2−m−506=0，求 mmm:
m2−m−506=(m−23)(m+22)=0 m^2 - m - 506 = (m - 23)(m + 22) = 0 m2−m−506=(m−23)(m+22)=0
解得 m=23m = 23m=23 或 m=−22m = -22m=−22，舍掉 负数。
所以，平均需要 m=23m=23m=23人才能使至少有两人同一天出生的概率大于 50%50\%50%。
2.5.3 程序验证
证明任意两人同一天出生的概率是否为0.3%
python
import numpy as np
# 记录同一天生日的次数
match = 0
# 模拟 1000000 次 实验
# 实验内容，抽一对人，并且看是否为同一天生日
for i in range(1000000):
# 第一个人的生日日期，从 0-364 中随即取一整数
a = np.random.randint(0, 364)
# 第一个人的生日日期，从 0-364 中随即取一整数
b = np.random.randint(0, 364)
# 如果是同一天生日，则 match 变量加一
if (a == b):
match += 1
print(f"一对人，同一天生日的概率为 {match / 1000000}")运行结果，约为 0.3%0.3\%0.3%。
生日难题的结果是否正确
python
# 导入numpy库，用于生成随机数和数值计算
import numpy as np
# 验证生日问题：m个人中至少两人生日相同的概率
# 人数 m 从 2 取到 30，依次计算不同人数下的概率
for m in range(2,31):
# 记录当前人数m下，10万次实验中【出现生日相同】的总次数
matches = 0
# 对每 m 个人进行 100000 次独立模拟实验
for n in range(100000):
# 单次实验中，生日重复的计数（只要有重复就>0）
match = 0
# 随机生成m个人的生日：0~364代表一年365天
b = np.random.randint(0,364,m)
# 双重循环：检查所有人两两之间是否生日相同
for i in range(m):
for j in range(m):
# 排除自己和自己比较，判断两个人生日是否相同
if (i != j) and (b[i] == b[j]):
match += 1 # 发现生日重复，计数+1
# 如果本次实验出现了生日重复（match≠0）
if (match != 0):
matches += 1 # 总成功次数+1
# 输出：人数m + 出现生日相同的频率（概率），保留6位小数
print("%2d %0.6f" % (m, matches/100000))输出结果如下：
从运行结果看：
232323 人时，概率约 50%50\%50%
303030 人时，概率超过 70%70\%70%
跟上面的计算结果是一致的。