排列组合问题：n个相同的球，放入m个不同的盒子，每个盒子至少k个球，求总放法。

如题所示，这是我2023年9月份，参与华为OD面试的时候，进入第三轮面试，面试官为了考算法，给了这道题，当时我没做出来，最近研究了一下这个题目。

这个题目其实就是普通的排列组合，做了一个变种：把n-mk个球放入m个盒子，盒子容许为空，求总放法。

一般而言，如果n个球，放入m个盒子，如果盒子不为空那么结果就是：

这个结果的思路就是有n个球，那么排成一排，它们之间有n-1个空隙，放入m个盒子，就是分成m份，那么就需要在n-1个空隙中插入m-1个隔板。所以，这个方法也叫隔板法或者挡板法。

比如，我们要把3个球，分成2份，不容许空。最直观的做法，就是：

以上的结果用公式表示：

改变一下条件，如果容许分到的结果为空，那么结果就是：

思路和上面类似，只不过增加了为空的情况：

套用公式：

结合本题，该题多了一个条件，就是每个盒子放k个球，那么剩下n-mk个球，放入m个盒子，每个盒子可以为空，结合以上的结论公式就是：

有了公式，算法就简单了，排列组合结果计算，需要使用到阶乘。

如下是通过java实现的算法示例：

java 复制代码

/*
 *    xxx co.ltd Copyright @ 2023-2023 All Rights Reserved
 */

package com.xxx.hw;

import java.util.Scanner;

/**
 * 描述信息
 *
 * @author Administrator
 * @since 2023/9/27 14:58
 * 题目描述
 * 一个排列组合问题：有m个盒子（盒子与盒子之间是不同的），n个球(球与球之间是完全相同的)，要求每个盒子里至少放k个球，共有多少种不同的方法？
 * <p>
 * 解答要求
 * 时间限制：1000ms, 内存限制：100MB
 * 输入
 * 每组测试用例占一行，包含三个整数m,n,k(1<=m<=100,1<=n<=1000,0<=k<=20)
 * <p>
 * 输出
 * 共有多少种不同的方法，由于结果可能超出整数int范围，输出对5201314取余后的值。
 * <p>
 * 样例
 * 输入样例 1
 * <p>
 * 2 3 1
 * 输出样例 1
 * <p>
 * 2
 */
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        while (scanner.hasNext()) {
            int boxNum = scanner.nextInt();
            int ballNum = scanner.nextInt();
            int kNum = scanner.nextInt();
            System.out.println(permutation(boxNum, ballNum, kNum));
        }
        scanner.close();
    }
    public static int permutation(int boxNum, int ballNum, int k) {
        int remain = ballNum - k * boxNum;
        if (remain == 0) {
            return 1;
        }
        return getResult(boxNum, remain);
    }
    public static int fun(int n) {
        if (n < 2)
            return n;
        return n * fun(n - 1);
    }
    public static int getResult(int m, int n) {
        return fun(n+m-1)/(fun(m-1)*fun(n));
    }
}

运行结果验证：

这个结果第一个示例是把3个球放入2个盒子，每个盒子至少1个球，最简单的就是：1+2=3,2+1=3两种放法。

第二个示例是把10个球，放入3个盒子，每个盒子至少2个球，综合分析10-3*2=4，剩下4个球，放入3个盒子，容许空盒，按照公式：

另外，附上一个推导公式：

这里面，盒子不为空的情况，我们很容易理解，就是，但是容许为空，这个公式是通过如下公式推导过来的：