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本文参考张宇考研数学的学习笔记。
1.领域的概念
设 为数轴上的一个点，为
为正数，则称
为
的领域。由于领域是极限中的概念，不存在任何实际距离说法。
其中去心领域就是不包含设个点的区间，左右领域分别处于数轴上的
的左右。注意领域定义是开区间。
2.函数极限定义
设函数 在点
的某一去心领域内有定义，若存在常数A，对于任意 给定的
>0(不论这个有多小)，总是存在正数
，使得当
时，对应的函数值
都满足不等式
，对应的函数都满足不等式
,则A 叫做函数
当
的极限。
公式表达为：
笔记：结合这些年的工作，首先光学一个数学知识靠死记硬背是无法理解其中的含义的，有些聪明的人刚学就知道背后的意义，像我这笨笨的只能死记硬背。例如极限现在回看，极限以我的理解来看极限解决的是函数之间在某个点变化量（导数概念）的大小，可能这个函数本身在这点没有定义域，但是极限拆分后可以做到。例如x和sinx在零点可以等价，本身这个函数sinx/x在零点没有定义，但在零点的变化尺度是一致的，所以等于1。这就是极限中函数中除法的意义，当然拆分的函数也是都要满足连续的。但是无穷小的阶数存在差异，例如例如（x-sinx)这个趋于零的无穷小通过泰勒级数展开就存在高阶部分，x和sinx并不相同，x-sinx作为新函数的变化趋势就不等等于x或者sinx。
延申概念
公理：实数系中存在对于任意大的自然数n,均有 ,则 x = 0 ,这使得实数系
中不存在非零无穷小量及其倒数无穷大量。
1.超实数中非零无穷小量与无穷大量
若对于任意大的自然数m，均有 且
为非零无穷小量，其倒数
为无穷大量。
2.超实数
设为任意实数，则
为有限超实数，则
为无穷超实数（无穷大量）
3.超实数系
实数系,非零无穷小量
，无穷大量
构成超实数系
，
，
不存在实数
中。
4.超实数与极限的关系与运算
例如 其中，:x: 在未作极限运算时，为实数运算
为趋核运算，此时的:x:称为超实数，
的结果为核值1.
3.函数极限运算顺序
设，运算顺序为
1.为实数运算
2. 为 趋核运算，A为核值，当A唯一时，称趋核运算存在，
存在，否则不存在。
笔记：当时学习的时候根本不知道这种意识，老师可能讲过但是没有注意听，现在复习的时候才恍然大悟，极限存在于超实数概念中，运算的结果趋于核，所以进行变换时先做实数域上的运算，然后才能趋核运算，例如上面的x和sinx并不相同，所以运算前x-sinx就不能替代为x-x。所以之后的洛必达法则通过求导化简就是解决计算实数中无法计算的部分。
4.函数极限的性质
唯一性
如果极限存在，那么极限唯一。
例如 首先趋于无穷时候不存在唯一值，所以不存在极限。
充分必要条件
左右极限存在且相等。
笔记：极限点是不存在于实数轴上的，首先要明白这个概念，不然左右极限无法理解，与实数轴上的值是没有关系。
例如左右极限分辨别是0，和正无穷，所有这个函数极限不存在。
局部有界性
如果,则存在正常数M和
，使得当
,有
.
极限存在是局部有界的充分条件，但是局部有界无法推导出函数极限存在，例如sinx在x趋于正无穷或者负无穷的情况。
若f(x)在[a,b]上为连续函数，则函数在[a,b]上必定有界。
若f(x)在(a,b)上为连续函数，且函数在，
存在，函数在(a,b)上必定有界。
有界函数加减乘有界函数仍然是有界。除法需要另行考虑。
局部保号性
如果，且A>0，那么在存在常数
大于0，使得
时，有
.如果在
的某去心领域内
且
，则
。负数是同样的概念。
笔记：极限周围的超实数范围具有保号性，不会改变符号。
5.函数极限运算定律
这个不解释了，这个比较简单，满足乘法交换律和加减法定律。
有界函数（例如sinx）与无穷小的乘积是无穷小
常数*无穷小 = 无穷小
有限个无穷小 = 无穷小
笔记：无穷个无穷小就不一定是无穷小了，例如**
,
则
，
如果B不等于0 ，
笔记：很多人会把sinx 等价替换为x,其实要满足极限存在定律才能等价替换，例如乘法等价替换时，必须证明每一个函数极限存在才能等价替换，因为这个是超实数。计算超实数需要进行实数运算，实数运算并不支持等价替换。
一般推导
如果 n >m , =0
如果 n= m , =
如果 n < m, = .
特殊情况
如果，
不存在或者无穷大，则
也是不存在或者无穷大的。但
，
是可能存在也可能不存在。
如果，
不存在或者无穷大，则
可能存在也可能不存在。
笔记：可以先当作初等函数进行加减法的计算，这样计算之后再求极限。
6.函数极限的比阶
无穷小有高阶（A/B = 0），同阶（A/B =C）,低阶（A/B = 无限） 的概念，两个无穷大需要需要进行无穷小转换才能比较。 比阶的情况下，0是最高阶的无穷小。注意的是并不是任意两个两个无穷小都可以进行比阶的。
笔记：这个很好理解，就是先做实数域的运算，算出核，其中核的规律见上面的一般推导。
无穷小（）常用的等价无穷小有一下几个
n方差公式证明
笔记： 一般都是使用夹逼准则来确定极限的。极限的唯一性。