蓝桥杯备赛：Day8-小苯的异或和

📚 算法笔记：小苯的异或和 (贡献法与位运算性质)

1. 题目简述

M-小苯的异或疑惑（hard）_北京信息科技大学第十五届程序设计竞赛（同步赛）

• 场景 ：给定长度为 n n n 的数组 a a a，计算所有满足 1 ≤ i < j ≤ n 1 \le i < j \le n 1≤i<j≤n 的 ( a i ⊕ a j ) (a_i \oplus a_j) (ai⊕aj) 的总异或和。
• 核心挑战 ： n n n 高达 2 × 10 5 2 \times 10^5 2×105，两两组合共有 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1) 对，暴力计算会达到 2 × 10 10 2 \times 10^{10} 2×1010 次运算，必然超时。
• 目标 ：在 O ( n ) O(n) O(n) 或 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn) 时间内求出结果。

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2. 核心代码 (C++ 实现)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

void solve()
{
    int n;
    if(!(cin >> n)) return;
    
    vector<int> a(n);
    int total_xor = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        total_xor ^= a[i]; // 预先计算所有元素的异或总和
    }
    
    // 关键逻辑判断：
    // 每个数 a[i] 会出现在 (n-1) 个组合中。
    // 如果 (n-1) 是偶数，a[i] 异或偶数次抵消为 0。
    // 如果 (n-1) 是奇数，a[i] 异或奇数次等价于异或 1 次。
    if ((n - 1) % 2 == 0)
    {
        cout << 0 << endl;
    }
    else
    {
        cout << total_xor << endl;
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    
    int _ = 1;
    while(_--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

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3. 核心考点与注意事项

• 贡献法 (Contribution Technique)：不计算每对组合的结果，而是统计每个元素在最终算式中出现了多少次。
• 异或的归零性 ：异或运算最核心的性质是 x ⊕ x = 0 x \oplus x = 0 x⊕x=0。只要某个数出现了偶数次，它在异或链中就会彻底消失。
• 组合数学计数 ：
  • 元素 a k a_k ak 会和它前面的 k − 1 k-1 k−1 个数配对，也会和它后面的 n − k n-k n−k 个数配对。
  • 总次数 = ( k − 1 ) + ( n − k ) = n − 1 = (k-1) + (n-k) = n-1 =(k−1)+(n−k)=n−1 次。
  • 这是一个常数，意味着所有数字出现的次数是一样多的。

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🛠️ 位运算基础备忘录

符号	操作	关键特性
^	异或	相同为 0，不同为 1；自反性 a ⊕ b ⊕ b = a a \oplus b \oplus b = a a⊕b⊕b=a
&	按位与	全 1 为 1；常用于取位或判断奇偶 x & 1
`	`	按位或
<<	左移	x ≪ n x \ll n x≪n 相当于 x ⋅ 2 n x \cdot 2^n x⋅2n