信号分解和小波阈值联合降噪 | NRBO-FMD基于牛顿拉夫逊算法优化特征模态分解+皮尔逊系数+小波阈值降噪+信号重构，MATLAB代码

一、研究背景

在机械故障诊断、生物医学信号处理、振动分析等领域，采集到的信号往往包含强噪声和非平稳特征。有效的信号分解 与降噪是提取故障特征的关键。

FMD（Filtered Mode Decomposition） 是一种结合频带分割与迭代滤波的信号分解方法，能够自适应地将复杂信号分解为若干本征模态分量（IMF）。
然而，FMD 的性能高度依赖滤波器大小 和模态个数两个参数，传统人工调参效率低、难以获得全局最优。
因此，引入NRBO（Newton-Raphson-based Optimizer，牛顿-拉夫逊优化算法） 自动寻优这两个关键参数，并以多种熵（包络熵、信息熵等）或峭度因子作为适应度函数，实现自适应最优分解。
分解后进一步利用小波阈值降噪对低相关分量进行处理，提升重构信号质量。

二、主要功能

自适应FMD分解：通过NRBO优化滤波器大小和模态个数，对输入信号进行最优分解，得到多个IMF分量。
多目标适应度选择：支持6种目标函数（包络熵最小、信息熵最小、排列熵最小、样本熵最小、能量熵最小、包络峭度因子最小），用户可根据信号特性选择。
IMF质量评估与筛选：计算每个IMF与原始信号的皮尔逊相关系数，自动区分"保留分量"与"需降噪分量"。
小波阈值降噪：对低相关系数分量分别进行软阈值和硬阈值降噪，并重构信号。
可视化与结果导出：绘制原始信号、迭代曲线、参数变化、分解图、幅值谱、功率谱、希尔伯特谱、降噪前后对比图，并输出Excel文件。

三、算法步骤

步骤	描述
1	读取信号数据（`data.xlsx`），绘制原始信号。
2	设置全局参数：`cutnum`（频带切割数）、`maxiternum`（迭代次数）、`fs`（采样频率）。
3	定义优化变量：滤波器大小 `[10,50]`，模态个数 `[5, cutnum]`。设置NRBO种群规模（10）、最大迭代次数（20）。
4	选择目标函数类型（`value=1~6`），调用 `getObjValue` 计算适应度。
5	运行NRBO优化算法，得到最优参数 `Best_pos` 和最优适应度 `Best_score`。
6	用最优参数调用 `FMD` 函数进行信号分解，获得IMF矩阵。
7	计算各IMF与原始信号的皮尔逊相关系数，依据阈值 `TH1` 区分保留分量（`K2`）与需降噪分量（`K1`）。
8	对需降噪分量进行小波阈值降噪（`db1`小波，2层分解，全局软/硬阈值），绘制降噪前后对比。
9	重构信号：保留分量 + 降噪后分量，分别生成软阈值和硬阈值降噪结果，并保存为Excel文件。

四、技术路线

复制代码

原始信号 → NRBO优化（寻优滤波器大小、模态个数）→ FMD分解 → 计算相关系数
         ↓
    ┌────┴────┐
    ↓         ↓
保留分量   需降噪分量 → 小波阈值降噪（软/硬阈值）
    └────┬────┘
         ↓
    信号重构 → 输出降噪后信号与评估图表

五、公式与原理

1. 适应度函数（以包络熵为例）

对于每个IMF分量 (c_i(t))，先求希尔伯特包络：

ai(t)=∣Hilbert(ci(t))∣ a_i(t) = |\text{Hilbert}(c_i(t))| ai(t)=∣Hilbert(ci(t))∣

归一化：

pi(t)=ai(t)∑tai(t) p_i(t) = \frac{a_i(t)}{\sum_t a_i(t)} pi(t)=∑tai(t)ai(t)

包络熵：

Eenv=−∑tpi(t)log⁡pi(t) E_{\text{env}} = -\sum_t p_i(t) \log p_i(t) Eenv=−t∑pi(t)logpi(t)

适应度取所有IMF中包络熵的最小值（熵越小，信号越规律，冲击特征越明显）。

2. FMD核心 ------ 最大相关峭度解卷积（MCKD）

FMD内部调用 xxc_mckd，其目标最大化相关峭度（Correlated Kurtosis, CK）：

CKM(T)=∑n=1N(∏m=0Myn−mT)2(∑n=1Nyn2)M+1 \text{CK}M(T) = \frac{\sum{n=1}^{N} \left( \prod_{m=0}^{M} y_{n-mT} \right)^2}{\left( \sum_{n=1}^{N} y_n^2 \right)^{M+1}} CKM(T)=(∑n=1Nyn2)M+1∑n=1N(∏m=0Myn−mT)2

其中 (y) 为滤波输出，(T) 为故障周期，(M) 为移位阶数。

通过迭代求解最优滤波器 (f)，使CK最大，从而增强周期性冲击成分。

3. 小波阈值降噪

对需降噪分量进行 db1 小波2层分解。
估计噪声标准差 σ=wnoiset(c,l,1)\sigma = \text{wnoiset}(c,l,1)σ=wnoiset(c,l,1)。
全局阈值 λ=σ2ln⁡N\lambda = \sigma \sqrt{2\ln N}λ=σ2lnN （NNN为信号长度）。
软阈值函数：
w^=sgn(w)⋅max⁡(∣w∣−λ,0) \hat{w} = \text{sgn}(w) \cdot \max(|w|-\lambda, 0) w^=sgn(w)⋅max(∣w∣−λ,0)
硬阈值函数：
w^=w⋅1∣w∣≥λ \hat{w} = w \cdot \mathbf{1}_{|w| \ge \lambda} w^=w⋅1∣w∣≥λ

六、参数设定（来自 `main.m` 及全局变量）

参数	值	含义
`cutnum`	5	频带切割数（决定初始滤波器组数量）
`maxiternum`	20	FMD内部迭代次数
`fs`	20000 Hz	采样频率
`lb`	[10, 5]	滤波器大小下限，模态个数下限
`ub`	[50, cutnum]	滤波器大小上限，模态个数上限
`dim`	2	优化变量维数
`SearchAgents_no`	10	NRBO种群规模
`Max_iter`	20	NRBO最大迭代次数
`value`	1~6	目标函数选择开关

七、运行环境

软件：MATLAB（推荐 R2020b 及以上版本）
输入文件 ：data.xlsx（单列信号数据）
输出文件 ：NRBO-FMD分解结果.xlsx，NRBO-FMD降噪后信号_软/硬阈值.xlsx

八、应用场景

旋转机械故障诊断：轴承、齿轮箱等振动信号中的周期性冲击提取。
生物医学信号处理：心电图（ECG）、脑电图（EEG）的噪声抑制与特征分离。
结构健康监测：桥梁、管道等结构的振动响应分解与损伤识别。
地球物理勘探：地震信号中反射波与噪声的分离。