前微积分时代的先行者们个个硬核狂魔，即使用现代的眼光来看，他们奇技淫巧的背后都蕴藏着深刻的思想，正是这些思想催生了现代科学。
来看一下卡瓦列里积分。
卡瓦列里 是一个伽利略时代的几何学家，他独立发现了祖暅原理：
- 具有同样高度和恒等横截面积的几何体具有相同的体积；
这看似显而易见，但背后却是一种降维的思想。
当时尚无微积分基本概念，卡瓦列里公开否认截面是一个 3 维但 "无限薄" 的片。当时人们对 "无限" 的认知模棱两可，混用量纲的 "无限薄"，"无限短" 更是令人不安，卡瓦列里认定截面就是 2 维，但他将 "无限" 抽象到了无量纲的数量，即 "无限多 2 维截面积累成了 3 维体"。这在当时可谓打破常规。
为说明这层意思，卡瓦列里做了实例印证。
如下图：
如图所示的三角形 abc，显示了组成这个三角形的一些线 l，卡瓦列里将这个区域的面积视为所有这些线的长度之和 ∑l，整个矩形的面积等于所有长为 A 的线之和 ∑A。
卡瓦列里推导的第一步基于一个事实:
∑ l ∑ A = 1 2 \dfrac{\sum l}{\sum A}=\dfrac{1}{2} ∑A∑l=21
即三角形面积是矩形面积的一半。
接下来，他尝试了将这些线段长度的平方相加。如果在每条线段上放一个面积为 l 2 l^2 l2 的正方形，就得到一个棱锥，而人们早知道这个棱锥体积等于由边长 A 正方形堆叠而成的长方体体积的 1/3，即：
∑ l 2 ∑ A 2 = 1 3 \dfrac{\sum l^2}{\sum A^2}=\dfrac{1}{3} ∑A2∑l2=31
有点意思了，敏锐的人似乎已经能发现规律，但不包括充其量止步于此的编程的人。
紧接着，卡瓦列里不得不脱离几何直观，进入了未知，这里将展示他的才智。他将继续尝试：
∑ l 3 ∑ A 3 = ? \dfrac{\sum l^3}{\sum A^3}=? ∑A3∑l3=?
正如数学式子可以描述非直观场景，他借助了已知公式完成了工作：
( x + y ) 3 + ( x − y ) 3 = 2 x 3 + 6 x y 2 (x+y)^3+(x-y)^3=2x^3+6xy^2 (x+y)3+(x−y)3=2x3+6xy2
看看卡瓦列里如何 "凑" 出结果的。
他并没有对当 l 从 A 递减到 0 时的 l 3 l^3 l3 直接求和，而是将其分成两部分之和，一部分是当 l 从 A 2 \dfrac{A}{2} 2A 递减到 0 时的 ( A 2 + l ) 3 (\dfrac{A}{2}+l)^3 (2A+l)3 之和，另一部分是当 l 从 0 递增至 A 2 \dfrac{A}{2} 2A 时的 ( A 2 − l ) 3 (\dfrac{A}{2}-l)^3 (2A−l)3 之和，即：
∑ 0 ≤ l ≤ A l 3 = ∑ 0 ≤ l ≤ A 2 ( ( A 2 + l ) 3 + ( A 2 − l ) 3 ) \sum_{0\le l\le A}l^3=\sum_{0\le l\le\frac{A}{2}}((\dfrac{A}{2}+l)^3+(\dfrac{A}{2}-l)^3) ∑0≤l≤Al3=∑0≤l≤2A((2A+l)3+(2A−l)3)
Now，他可使用已知公式大段演算了：
∑ 0 ≤ l ≤ A l 3 = ∑ 0 ≤ l ≤ A 2 ( 2 ⋅ ( A 2 ) 3 + 6 ( A 2 ) ⋅ l 2 ) = 1 4 ∑ 0 ≤ l ≤ A 2 A 3 + 3 A ∑ 0 ≤ l ≤ A 2 l 2 = . . . \sum_{0\le l\le A}l^3=\sum_{0\le l\le\frac{A}{2}}(2\cdot(\dfrac{A}{2})^3+6(\dfrac{A}{2})\cdot l^2)=\dfrac{1}{4}\sum_{0\le l\le\frac{A}{2}}A^3+3A\sum_{0\le l\le\frac{A}{2}}l^2=... ∑0≤l≤Al3=∑0≤l≤2A(2⋅(2A)3+6(2A)⋅l2)=41∑0≤l≤2AA3+3A∑0≤l≤2Al2=...
反正就是一大堆小学水平的式子整理，我高中的物理讲过，如果你要搞物理，数学，就必须要有大段大段整理数学式子的能力，我受益匪浅，但我没有谨遵教诲。不管怎样，卡瓦列里有这个能力，最终得：
∑ 0 ≤ l ≤ A l 3 = 1 4 ∑ 0 ≤ l ≤ A A 3 \sum_{0\le l\le A}l^3=\dfrac{1}{4}\sum_{0\le l\le A}A^3 ∑0≤l≤Al3=41∑0≤l≤AA3
卡瓦列里一直算到 ∑ l 9 \sum l^9 ∑l9，在每种情形都使用他已知的等式：
( x + y ) k + ( x − y ) k = 2 x k + 2 C k 2 x k − 2 y 2 + 2 C k 4 x k − 4 y 4 + . . . (x+y)^k+(x-y)^k=2x^k+2C_k^2x^{k-2}y^2+2C_k^4x^{k-4}y^4+... (x+y)k+(x−y)k=2xk+2Ck2xk−2y2+2Ck4xk−4y4+...
最后表明，对于 1≤ k ≤ 9，都有：
∑ l k ∑ A k = 1 k + 1 \dfrac{\sum l^k}{\sum A^k}=\dfrac{1}{k+1} ∑Ak∑lk=k+11
发自信仰地可想而知，当 k > 9 时，以上依然成立。
好，现在最关键地一步来了，如果将如图矩形逆时针旋转 90°，会发现卡瓦列里其实表明了曲线 y = a k y=a^k y=ak，0 ≤ a ≤ A 下的区域面积等于：
∑ 0 ≤ l ≤ A l k = 1 k + 1 ∑ 0 ≤ l ≤ A A k = 1 k + 1 ⋅ A k + 1 \sum_{0\le l\le A}l^k=\dfrac{1}{k+1}\sum_{0\le l\le A}A^k=\dfrac{1}{k+1}\cdot A^{k+1} ∑0≤l≤Alk=k+11∑0≤l≤AAk=k+11⋅Ak+1
看看这是什么，这难道不就是 ∫ x k d x = 1 k + 1 ⋅ x k + 1 + C \displaystyle\int x^k\text{d}x=\dfrac{1}{k+1}\cdot x^{k+1}+C ∫xkdx=k+11⋅xk+1+C 吗？
全程，卡瓦列里都在巧妙凑已知，k ≤ 2，他利用了面积，体积关系，k > 2，他利用了已知等式。
不幸的是，卡瓦列里不善表达导致其措辞晦涩难读，当人们知道他的思想时，笛卡儿已经建立能用图像表示出代数关系的解析几何，人们已经找到求积分公式的更简单方法。
在我看来，卡瓦列里这个结果虽已很超前，但手段却还是守旧。17 世纪是体系化，形式化的前夜，科学方法，解析几何，微积分，牛顿力学均在 17 世纪创世，卡瓦列里在他的几何代数技巧和直觉之外并没有更进一步，当他的已经 k 到 9 时，他甚至没有大声公开一个大胆的一般化猜测。
在我前面的文章 从微积分看世界 中，从与积分相逆的微分角度，也可以用几乎同样的方法得到卡瓦列里一致的结论：
d V n ( x ) d x = S n − 1 ( x ) \dfrac{\text{d}V_n(x)}{\text{d}x} = S_{n-1}(x) dxdVn(x)=Sn−1(x)
其中 x 为 n 维正立方体边长，V 为其体积，S 为其表面积。我与卡瓦列里思维方式一致，换我是他，亦无法超越。
浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。