判断质数（Java版）

这篇文章介绍两种简单的判断质数的方法。

基础版

第一种就是根据质数的定义：质数是大于1的自然数中，除了1和它本身外没有其他因数的数。

所以我们只需要判断一下这个数能否被比其小且大于等于2的数整除就可以了。

实现代码如下：

java 复制代码

public static boolean isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false; // 1和负数不是质数
    
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            return false; // 有其它因子
        }
    }
    return true;
}

这种是最容易实现的也是最慢的方法，我们可以在其之上做一些优化：

1.如果这个数不能被2整除，那么就一定不会被2的倍数整除，所以循环时只需单独判断一下2的情况就可以只判断能否被奇数整除即可；

2.如果这个数 n ，在运算到**√n** 的时候还没有找到因数，后面就不需要找了。因为假设大于**√n** 的数是它的因数，那么它的另一个因数一定小于 √n ，这样的话，就不会出现到达 √n也没有找到因数的情况。

我们可以据此来优化我们的代码：

java 复制代码

public static boolean isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    if (n == 2) return true;      // 2是质数
    if (n % 2 == 0) return false; // 偶数不是质数（这种情况已经筛掉了2）

    // 只需检查到 sqrt(n)，且只检查奇数
    int limit = (int) Math.sqrt(n);
    for (int i = 3; i <= limit; i += 2) {
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

就可以将判断一个质数的时间复杂度从O(n)优化到O(√n)。

但是有些时候，会出现需要大量判断一个范围内的质数的时候，这两种时间复杂度就会变成O(n*n)和O(n*√n)，我们就需要用一种筛查的方式找到一个范围内的非素数，这样其他的就是素数，而且可以避免重复计算。

埃氏筛

我们如果要判断n以内的数是否为质数，我们可以先创建一个boolean类型的数组，用下标表示数字，将里面的合数都记录一下，这样没记录的就是质数。

如何记录合数呢，假设一个数是合数，那么它一定可以由一个比它小的数乘另外一个数得到，因此，我们只需要让这些较小的数变化自身的倍数即可。例如，我们找一下20以内的合数：

2的倍数：4、6、8、10、12、14、16、18、20

3的倍数：**6、**9、12、15、18

4的倍数：**8、12、**16、20（被2包含了）

5的倍数：10、15、20

......

其实我们不需要向下继续筛查了，因为5*5>20了，原理同我们刚才优化基础版的原理一样

于是，我们找到的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20

对应的，质数就有2、3、5、7、11、13、17、19

对于筛查下界我们还可以进行优化，目前是2 * i，例如在算3的倍数时第一个取到的是6，为3 * 2，这在我们对2筛查时就已经2 * 3筛查过了，因此对于 i 我们可以从i * i 开始筛查，因为如果比此数小就一定在前面筛过，例如 i *（i - 1）一定在 i - 1中筛查过了（见前方加粗示例）

而且，对于4的倍数而言，是一定被2的倍数包含的，所以在进行筛查时可以先判断一下是否在合数中标记了次数，如果标记了是合数，说明前面有比它小的因数，那么就无需判断这个数（因为前面的因数一定将它要标记的数标记完成了）

故代码实现如下：

java 复制代码

//n为数据的范围(上界)
boolean[] isComposite = new boolean[n + 1];
public static void setValue(int n) {
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (!isComposite[i]) {
            // 从 i*i 开始标记（优化：比从 2*i 开始好）
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                isComposite[j] = true;
            }
        }
    }
}
//由于0和1既不是质数也不是合数，如果需要判断质数可以先将他们取为true

但是我们其实不难发现，这种情况下其实示例中的12和18都被标记了两次，还是会有重复计算的位置，时间复杂度没有优化到O(n)实际上，埃氏筛的时间复杂度是O(n log log n)，十分接近线性，但是要严格线性就需要使用欧拉筛，欧拉筛保证被最小质因子表示一次，所以是O(n)，此篇不详细展开欧拉筛的方法。

小练习：筛法判断质数_牛客题霸_牛客网

tips：由于数据集不是很大，用基础版的优化也可以过