pvz3解码小游戏求解算法 (二)

文章目录

[1 问题描述](#1 问题描述)
[2 旧版算法的局限性](#2 旧版算法的局限性)
[3 CSP 求解器模型](#3 CSP 求解器模型)
- [3.1 约束满足问题建模](#3.1 约束满足问题建模)
- - [3.1.1 植物成分的形式化表示](#3.1.1 植物成分的形式化表示)
  - [3.1.2 反馈约束的形式化](#3.1.2 反馈约束的形式化)
  - [3.1.3 解空间规模](#3.1.3 解空间规模)
- [3.2 约束传播机制](#3.2 约束传播机制)
- - [3.2.1 域更新的数学表达](#3.2.1 域更新的数学表达)
  - [3.2.2 全局约束传播](#3.2.2 全局约束传播)
  - [3.2.3 反馈模拟函数](#3.2.3 反馈模拟函数)
- [3.3 Minimax 搜索策略](#3.3 Minimax 搜索策略)
- - [3.3.1 算法原理](#3.3.1 算法原理)
  - [3.3.2 搜索优化](#3.3.2 搜索优化)
- [3.4 算法流程](#3.4 算法流程)
- - [3.4.1 第 1 轮：成分覆盖](#3.4.1 第 1 轮：成分覆盖)
  - [3.4.2 第2 \~ 5轮：CSP 约束传播 + Minimax 搜索](#3.4.2 第2 ~ 5轮：CSP 约束传播 + Minimax 搜索)
[4 实现细节](#4 实现细节)
- [4.1 数据结构设计](#4.1 数据结构设计)
- - [4.1.1 Plant 类](#4.1.1 Plant 类)
  - [4.1.2 Feedback 枚举](#4.1.2 Feedback 枚举)
  - [4.1.3 CSPSolver 核心状态](#4.1.3 CSPSolver 核心状态)
- [4.2 约束传播实现](#4.2 约束传播实现)
- [4.3 Minimax 搜索实现](#4.3 Minimax 搜索实现)
[5 测试结果](#5 测试结果)
- [5.1 测试数据](#5.1 测试数据)
- [5.2 结果分析](#5.2 结果分析)
[6 可视化界面](#6 可视化界面)
[7 小结](#7 小结)

在本文中将在上一篇的基础上利用 CSP 求解器进一步将算法的金奖杯率，这也是最终的解决方案。这里首先重述一下问题。

1 问题描述

在《植物大战僵尸 3：进化》中，有一个解码小游戏，要求猜出一个 4 个 2 层植物组合。其中，可供选择的 1 层植物为向日葵、豌豆射手、卷心菜投手、坚果墙、地刺，2 个 1 层植物可以合成为 1 个 2 层植物，合成关系如下表^[1](#1)：

	向日葵	豌豆射手	卷心菜投手	坚果墙	地刺
向日葵	双胞向日葵	太阳能豌豆		葵花籽
豌豆射手	太阳能豌豆	双重射手	豌豆迫击炮	花生射手	松针射手
卷心菜投手		豌豆迫击炮	卷心菜连投手	栗子投手
坚果墙	葵花籽	花生射手	栗子投手	高坚果	荔枝
地刺		松针射手		荔枝	锯齿草

在开始游戏时，系统会自动生成一个不重复的 2 层植物组合，玩家需要给出猜测。每次给出一个猜测，系统会逐一比较每个位置上的植物，并返回 4 种结果：

正确
可交换：当前位置不正确，但有另一个位置是这个答案
部分正确：有一个合成植物猜对了
完全错误：除以上情况外的返回

如果没猜中，玩家需要根据上述结果修改自己的答案，直至猜中为止。每个玩家都有 15 次机会进行猜测，只有 5 次及以内猜中的才可获得金奖杯。问：执行怎样的策略才能稳定地获得金奖杯？

2 旧版算法的局限性

在上一篇中，我们设计了一种三阶段策略：第一轮成分覆盖，第二轮查表与频率分析，第三至五轮排列求解。经过测试，该算法能在 6 轮内找到正确答案，其中约 99% 的用例可在 5 轮内求解，获得金奖杯。

然而，这种启发式方法存在明显的局限性。核心问题在于信息利用不充分：第一轮反馈后，旧算法虽然更新了知识库，但在第二轮猜测时依赖预查表和简单的频率分析，无法精准选择最优猜测。例如，当第一轮反馈为 WWWW (完全错误) 时，算法会默认选择双胞向日葵作为第二轮的首位植物，但此时第一位已经确认不含向日葵成分，这导致成分约束信息被忽略，产生了冗余猜测。

此外，旧算法在排列求解阶段仅测试候选植物的排列，而没有利用 Minimax 策略 (最小化最坏情况) 来选择猜测，使得某些困难用例需要额外轮数才能求解。为了进一步提升金奖杯率至 100%，我们需要引入更严谨的数学模型和更高效的搜索算法。

3 CSP 求解器模型

为了克服旧版算法的局限性，我们将解码小游戏建模为约束满足问题 (Constraint Satisfaction Problem, CSP)，并利用约束传播和 Minimax 搜索相结合的策略进行求解。

3.1 约束满足问题建模

CSP 由三个要素组成：变量、域和约束。在本问题中：

变量：4 个位置的植物选择，记作 X 0 , X 1 , X 2 , X 3 X_0, X_1, X_2, X_3 X0,X1,X2,X3。
域：每个变量的可能植物集合，初始时 D ( X i ) = { P 1 , P 2 , ... , P 12 } D(X_i) = \{P_1, P_2, \dots, P_{12}\} D(Xi)={P1,P2,...,P12}，其中 P j P_j Pj 表示第 j j j 种 2 层植物。
约束：
- 互异性约束 ：4 个位置的植物必须互不相同，即 ∀ i ≠ j , X i ≠ X j \forall i \neq j, X_i \neq X_j ∀i=j,Xi=Xj。
- 反馈约束：每轮反馈都会对域产生限制，具体形式见下文。

3.1.1 植物成分的形式化表示

每种植物 P j P_j Pj 包含两个 1 层成分，我们用位掩码进行形式化表示。设成分集合为 E = { A , B , C , D , E } \mathcal{E} = \{A, B, C, D, E\} E={A,B,C,D,E}，对应索引 0 , 1 , 2 , 3 , 4 0, 1, 2, 3, 4 0,1,2,3,4。植物 P j P_j Pj 的成分掩码定义为：

mask ( P j ) = 2 e 1 + 2 e 2 \text{mask}(P_j) = 2^{e_1} + 2^{e_2} mask(Pj)=2e1+2e2

其中 e 1 , e 2 ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } e_1, e_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\} e1,e2∈{0,1,2,3,4} 是该植物的两个成分索引。例如，太阳能豌豆 ( P 2 P_2 P2) 包含成分 A 和 B，其掩码为 mask ( P 2 ) = 2 0 + 2 1 = 3 \text{mask}(P_2) = 2^0 + 2^1 = 3 mask(P2)=20+21=3。

两种植物 P i P_i Pi 和 P j P_j Pj 的成分共享关系可通过位运算快速判断：

sharesAny ( P i , P j ) ⟺ mask ( P i ) ∧ mask ( P j ) ≠ 0 \text{sharesAny}(P_i, P_j) \iff \text{mask}(P_i) \land \text{mask}(P_j) \neq 0 sharesAny(Pi,Pj)⟺mask(Pi)∧mask(Pj)=0

sharesNone ( P i , P j ) ⟺ mask ( P i ) ∧ mask ( P j ) = 0 \text{sharesNone}(P_i, P_j) \iff \text{mask}(P_i) \land \text{mask}(P_j) = 0 sharesNone(Pi,Pj)⟺mask(Pi)∧mask(Pj)=0

其中 ∧ \land ∧ 表示按位与运算。

3.1.2 反馈约束的形式化

设答案序列为 A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) \boldsymbol{A} = (A_0, A_1, A_2, A_3) A=(A0,A1,A2,A3)，猜测序列为 G = ( G 0 , G 1 , G 2 , G 3 ) \boldsymbol{G} = (G_0, G_1, G_2, G_3) G=(G0,G1,G2,G3)。对于每个位置 i i i，系统返回反馈 F i ∈ { C , S , P , W } F_i \in \{C, S, P, W\} Fi∈{C,S,P,W}。每种反馈对应的数学约束如下：

C (正确) ： G i = A i G_i = A_i Gi=Ai。此时 X i X_i Xi 被锁定为 G i G_i Gi，且 ∀ j ≠ i , X j ≠ G i \forall j \neq i, X_j \neq G_i ∀j=i,Xj=Gi。
S (可交换) ： G i ≠ A i ∧ ∃ j ≠ i , A j = G i G_i \neq A_i \land \exists j \neq i, A_j = G_i Gi=Ai∧∃j=i,Aj=Gi。此时 X i ≠ G i X_i \neq G_i Xi=Gi，但 G i ∈ { A 0 , A 1 , A 2 , A 3 } G_i \in \{A_0, A_1, A_2, A_3\} Gi∈{A0,A1,A2,A3}。
P (部分正确) ： G i ∉ { A 0 , A 1 , A 2 , A 3 } ∧ sharesAny ( G i , A i ) G_i \notin \{A_0, A_1, A_2, A_3\} \land \text{sharesAny}(G_i, A_i) Gi∈/{A0,A1,A2,A3}∧sharesAny(Gi,Ai)。此时 X i ≠ G i X_i \neq G_i Xi=Gi，且 ∀ P k ∈ D ( X i ) \forall P_k \in D(X_i) ∀Pk∈D(Xi)，若 sharesNone ( P k , G i ) \text{sharesNone}(P_k, G_i) sharesNone(Pk,Gi) 则 P k ∉ D ( X i ) P_k \notin D(X_i) Pk∈/D(Xi)。
W (完全错误) ： G i ∉ { A 0 , A 1 , A 2 , A 3 } ∧ sharesNone ( G i , A i ) G_i \notin \{A_0, A_1, A_2, A_3\} \land \text{sharesNone}(G_i, A_i) Gi∈/{A0,A1,A2,A3}∧sharesNone(Gi,Ai)。此时 X i ≠ G i X_i \neq G_i Xi=Gi，且 ∀ P k ∈ D ( X i ) \forall P_k \in D(X_i) ∀Pk∈D(Xi)，若 sharesAny ( P k , G i ) \text{sharesAny}(P_k, G_i) sharesAny(Pk,Gi) 则 P k ∉ D ( X i ) P_k \notin D(X_i) Pk∈/D(Xi)。

3.1.3 解空间规模

初始解空间大小为从 12 种植物中选择 4 种并排列的总数：

∣ S 0 ∣ = P ( 12 , 4 ) = 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 = 11880 |\mathcal{S}_0| = P(12, 4) = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880 ∣S0∣=P(12,4)=12⋅11⋅10⋅9=11880

每轮反馈后，解空间会被约束传播缩小。设第 r r r 轮后的解空间为 S r \mathcal{S}_r Sr，则理想情况下 ∣ S r ∣ |\mathcal{S}_r| ∣Sr∣ 应快速收敛至 1。

3.2 约束传播机制

约束传播是 CSP 求解的核心。每次收到反馈后，算法会根据反馈类型更新对应位置的域，并传播约束到其余位置。具体规则如下：

反馈类型	语义	约束传播操作
C (正确)	该位置植物正确	锁定该位置为该植物，加入答案集合，从其他位置的域中移除
S (可交换)	植物正确但位置错误	加入答案集合，该位置排除此植物
P (部分正确)	非答案但共享成分	排除该植物，该位置排除所有与猜测植物无共享成分的植物
W (完全错误)	完全无关	排除该植物，该位置排除所有与猜测植物有共享成分的植物

3.2.1 域更新的数学表达

设第 r r r 轮猜测为 G ( r ) \boldsymbol{G}^{(r)} G(r)，反馈为 F ( r ) \boldsymbol{F}^{(r)} F(r)。对于位置 i i i 和植物 P k P_k Pk，域更新规则可形式化为：

D ( r + 1 ) ( X i ) = D ( r ) ( X i ) ∩ C i ( r ) D^{(r+1)}(X_i) = D^{(r)}(X_i) \cap \mathcal{C}_i^{(r)} D(r+1)(Xi)=D(r)(Xi)∩Ci(r)

其中 C i ( r ) \mathcal{C}_i^{(r)} Ci(r) 是第 r r r 轮反馈对位置 i i i 施加的约束集合。例如，若 F i ( r ) = W F_i^{(r)} = W Fi(r)=W 且 G i ( r ) = P j G_i^{(r)} = P_j Gi(r)=Pj，则：

C i ( r ) = { P k : sharesNone ( P k , P j ) } \mathcal{C}_i^{(r)} = \{P_k: \text{sharesNone}(P_k, P_j)\} Ci(r)={Pk:sharesNone(Pk,Pj)}

3.2.2 全局约束传播

约束传播后，算法执行以下全局操作：

全局排除 ：设被排除的植物集合为 E \mathcal{E} E，则：

∀ i , D ( X i ) ← D ( X i ) ∖ E \forall i, D(X_i) \leftarrow D(X_i) \setminus \mathcal{E} ∀i,D(Xi)←D(Xi)∖E
互异性强制执行 ：对于每个位置 i i i 和候选植物 P k ∈ D ( X i ) P_k \in D(X_i) Pk∈D(Xi)，若存在某个其他位置 j ≠ i j \neq i j=i 使得 D ( X j ) ⊆ { P k } D(X_j) \subseteq \{P_k\} D(Xj)⊆{Pk}^[2](#2)，则 P k P_k Pk 必须从 D ( X i ) D(X_i) D(Xi) 中移除。形式化地，定义可行性函数：

canComplete ( i , P k ) ⟺ ∃ 互异的 ( p 0 , ... , p 3 ) 使得 p i = P k ∧ ∀ j , p j ∈ D ( X j ) \text{canComplete}(i, P_k) \iff \exists \text{ 互异的 } (p_0, \dots, p_3) \text{ 使得 } p_i = P_k \land \forall j, p_j \in D(X_j) canComplete(i,Pk)⟺∃ 互异的 (p0,...,p3) 使得 pi=Pk∧∀j,pj∈D(Xj)

则域更新为：

D ( X i ) ← { P k ∈ D ( X i ) : canComplete ( i , P k ) } D(X_i) \leftarrow \{P_k \in D(X_i) : \text{canComplete}(i, P_k)\} D(Xi)←{Pk∈D(Xi):canComplete(i,Pk)}

答案集合推理 ：设已知答案植物集合为 A \mathcal{A} A。若 ∣ A ∣ = 4 |\mathcal{A}| = 4 ∣A∣=4，则：

∀ i , D ( X i ) ← D ( X i ) ∩ A \forall i, D(X_i) \leftarrow D(X_i) \cap \mathcal{A} ∀i,D(Xi)←D(Xi)∩A

若 ∣ A ∣ = 3 |\mathcal{A}| = 3 ∣A∣=3，则第 4 种植物必须从剩余候选中推断，设未被排除且不在 A \mathcal{A} A 中的植物集合为 U \mathcal{U} U，则：

∀ i (未锁定) , D ( X i ) ← D ( X i ) ∩ ( A ∪ U ) \forall i \text{ (未锁定)}, D(X_i) \leftarrow D(X_i) \cap (\mathcal{A} \cup \mathcal{U}) ∀i (未锁定),D(Xi)←D(Xi)∩(A∪U)

通过这种传播机制，每轮反馈后解空间会被大幅缩小。设第 r r r 轮后的解空间大小为 ∣ S r ∣ |\mathcal{S}_r| ∣Sr∣，则有：

∣ S r + 1 ∣ ≤ ∏ i = 0 3 ∣ D ( r + 1 ) ( X i ) ∣ × 排列因子 |\mathcal{S}{r+1}| \leq \prod{i=0}^{3} |D^{(r+1)}(X_i)| \times \text{排列因子} ∣Sr+1∣≤i=0∏3∣D(r+1)(Xi)∣×排列因子

其中排列因子由互异性约束决定，通常远小于初始值。

3.2.3 反馈模拟函数

在 Minimax 搜索中，需要模拟给定猜测 G \boldsymbol{G} G 对答案 A \boldsymbol{A} A 的反馈。定义反馈函数 Φ : P 4 × P 4 → { C , S , P , W } 4 \Phi: \mathcal{P}^4 \times \mathcal{P}^4 \to \{C, S, P, W\}^4 Φ:P4×P4→{C,S,P,W}4：

Φ ( G , A ) i = { C , if G i = A i S , if G i ≠ A i ∧ G i ∈ { A 0 , A 1 , A 2 , A 3 } P , if G i ∉ { A 0 , A 1 , A 2 , A 3 } ∧ sharesAny ( G i , A i ) W , if G i ∉ { A 0 , A 1 , A 2 , A 3 } ∧ sharesNone ( G i , A i ) \Phi(\boldsymbol{G}, \boldsymbol{A})_i = \begin{cases} C, & \text{if } G_i = A_i \\ S, & \text{if } G_i \neq A_i \land G_i \in \{A_0, A_1, A_2, A_3\} \\ P, & \text{if } G_i \notin \{A_0, A_1, A_2, A_3\} \land \text{sharesAny}(G_i, A_i) \\ W, & \text{if } G_i \notin \{A_0, A_1, A_2, A_3\} \land \text{sharesNone}(G_i, A_i) \end{cases} Φ(G,A)i=⎩ ⎨ ⎧C,S,P,W,if Gi=Aiif Gi=Ai∧Gi∈{A0,A1,A2,A3}if Gi∈/{A0,A1,A2,A3}∧sharesAny(Gi,Ai)if Gi∈/{A0,A1,A2,A3}∧sharesNone(Gi,Ai)

该函数用于在搜索过程中预测每种猜测的反馈分布。

3.3 Minimax 搜索策略

在缩小解空间后，如何选择下一轮的猜测？简单的选择是枚举当前所有可行解并逐一测试，但这种方法在最坏情况下可能效率低下。为了最小化最坏情况下的剩余候选数，我们采用 Minimax 搜索策略。

3.3.1 算法原理

Minimax 搜索的目标是找到一个猜测，使得在所有可能的反馈结果中，剩余候选解的最大数量最小化。具体步骤如下：

生成候选猜测 ：从当前所有可行解中生成候选猜测集合，同时补充部分非可行解^[3](#3)以增加搜索空间。
模拟反馈：对每个候选猜测，枚举所有可能的答案，计算模拟反馈。
划分统计：根据模拟反馈将答案集合划分为若干子集，统计每个子集的大小。
最坏情况评估：对每个候选猜测，取所有子集中最大的大小作为其最坏情况值。
选择最优：选择最坏情况值最小的候选猜测作为下一轮猜测。

3.3.2 搜索优化

Minimax 搜索的复杂度与候选猜测数量和答案集合大小成正比。为了提高效率，我们采用以下优化：

候选猜测去重：去除历史中已使用过的猜测，避免冗余。
答案集合上限 ：在枚举可行解时设置上限^[4](#4)，防止解空间过大时搜索过慢。
早期终止 ：若找到最坏情况值为 1 的猜测^[5](#5)，立即终止搜索。

通过这些优化，Minimax 搜索能在合理时间内选出最优猜测，确保在剩余轮数内完成求解。

3.4 算法流程

是
否
是
否
是
否
开始游戏
第 1 轮: 固定猜测 P2, P5, P9, P11
获取反馈
是否全 C?
求解完成
约束传播: 更新各位置域
枚举当前可行解
解数 = 1?
直接返回该解
Minimax 搜索: 选择最优猜测
提交猜测并获取反馈
是否全 C?

3.4.1 第 1 轮：成分覆盖

与旧算法相同，第 1 轮采用固定猜测 {P2, P5, P9, P11}，分别对应太阳能豌豆 (A, B)、豌豆迫击炮 (B, C)、栗子投手 (C, D) 和荔枝 (D, E)。这 4 种植物的成分组合覆盖了全部 5 种 1 层成分 (A ~ E)，确保首轮反馈能提供最全面的成分信息。

3.4.2 第2 ~ 5轮：CSP 约束传播 + Minimax 搜索

从第 2 轮开始，算法进入 CSP 求解循环：

根据上一轮反馈执行约束传播，更新各位置的域。
回溯搜索枚举所有满足当前约束的可行解。
若可行解唯一，直接返回该解作为猜测。
否则，使用 Minimax 搜索选择最优猜测，提交并获取新反馈。
重复上述过程，直至找到正确答案。

4 实现细节

4.1 数据结构设计

4.1.1 Plant 类

Plant 类定义了12种2层植物的基本信息：

id：植物唯一标识 (1 ~ 12)。
name：植物名称。
e1, e2：两个 1 层成分索引 (A=0, B=1, C=2, D=3, E=4)。
mask：成分位掩码，用于快速计算共享成分关系。

java 复制代码

// 成分共享判断
public boolean sharesAny(Plant other) { return (mask & other.mask) != 0; }
public boolean sharesNone(Plant other) { return (mask & other.mask) == 0; }

位掩码运算使得成分共享判断的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)，大幅提升了约束传播的效率。

4.1.2 Feedback 枚举

定义了四种反馈类型：

CORRECT：植物及位置均正确。
SWAP：植物正确但位置错误。
PARTIAL：植物不正确但与答案植物共享成分。
WRONG：植物完全错误且与答案植物无共享成分。

4.1.3 CSPSolver 核心状态

CSPSolver 类维护以下核心状态：

domains ：Set<Integer>[]，每位置的可能植物集合。
answerPlants：已知答案植物集合 (来自 S/C 反馈)。
excludedPlants：已排除植物集合 (来自 P/W 反馈)。
fixedSlots：C 反馈锁定的位置映射。
history：历史猜测集合，避免重复猜测。

4.2 约束传播实现

约束传播在 applyFeedback 方法中实现。每收到一组反馈，算法首先遍历4个位置，根据反馈类型更新对应位置的域和全局集合：

java 复制代码

switch (fb) {
    case CORRECT:
        fixedSlots.put(slot, plantId);
        answerPlants.add(plantId);
        domains[slot].clear();
        domains[slot].add(plantId);
        break;
    case SWAP:
        answerPlants.add(plantId);
        domains[slot].remove(plantId);
        break;
    case PARTIAL:
        excludedPlants.add(plantId);
        domains[slot].removeIf(pid -> Plant.get(pid).sharesNone(guessed));
        break;
    case WRONG:
        excludedPlants.add(plantId);
        domains[slot].removeIf(pid -> Plant.get(pid).sharesAny(guessed));
        break;
}

随后执行全局排除和互异性强制执行，确保所有约束的一致性。

4.3 Minimax 搜索实现

Minimax 搜索在 findMinimaxGuessFull 方法中实现。算法首先生成所有候选猜测^[6](#6)，然后对每个候选计算最坏情况值：

java 复制代码

private int computeWorstCase(int[] guess, List<int[]> solutions) {
    Map<String, Integer> partitionSizes = new HashMap<>();
    for (int[] answer : solutions) {
        String fb = simulateFeedback(guess, answer);
        partitionSizes.put(fb, partitionSizes.getOrDefault(fb, 0) + 1);
    }
    int max = 0;
    for (int size : partitionSizes.values()) if (size > max) max = size;
    return max;
}

通过遍历所有候选猜测并选择最坏情况值最小的作为下一轮猜测，算法确保每次猜测都能最大程度缩小解空间。

5 测试结果

为了验证 CSP 求解器的性能，我们编写了全量测试程序 TestRunner，遍历所有 C 12 4 ⋅ 4 ! = 11880 C_{12}^4\cdot4!= 11880 C124⋅4!=11880 种可能的答案，统计求解轮数。

5.1 测试数据

指标	数值
总测试用例	11880
5 轮内求解	11880 (100%)
平均求解轮数	~3.5
最大求解轮数	5

5.2 结果分析

CSP 求解器实现了 100% 金奖杯率，所有用例均在 5 轮内求解，平均仅需约 3.5 轮。相比旧版算法，新版在困难用例上的表现有显著提升。

6 可视化界面

同旧版本，略。

7 小结

通过将解码小游戏建模为约束满足问题，并结合约束传播与 Minimax 搜索，我们成功设计了一种 100% 金奖杯率的求解算法。该算法在平均 3.5 轮内即可求解所有 11880 种可能答案，远超旧版算法的性能。

本文代码参见 Gitee 仓库的 csp 模块，发行版可直接通过发行版仓库下载。

其中空值表示不可合成。 ↩︎
即 j j j 已被迫只能选择 P k P_k Pk。 ↩︎
即接近可行解的组合。 ↩︎
如 500 个。 ↩︎
即无论反馈如何，下一轮都能确定答案。 ↩︎
包括可行解和额外组合。 ↩︎