力扣HOT100（41）动态规划-杨辉三角

一、题目核心规律（一句话讲透）

杨辉三角里，除了每行最左边和最右边的 1，中间的每个数，都等于它「左上方的数 + 正上方的数」。

对应数组下标就是：

第 i 行第 j 个数 = 第 i-1 行第 j-1 个数 + 第 i-1 行第 j 个数

举个例子：

• 第 3 行（下标 2）的中间数 2 = 第 2 行（下标 1）的 1（j-1=0） + 第 2 行的 1（j=1）
• 第 4 行（下标 3）的 3 = 第 3 行的 1（j-1=0） + 第 3 行的 2（j=1）

二、先记两个必背的基础性质（和代码直接相关）

1. 第 i 行（从 0 开始数）有 i+1 个数
   • 第 0 行（第一行）：1 个数 → [1]
   • 第 1 行（第二行）：2 个数 → [1,1]
   • 第 2 行（第三行）：3 个数 → [1,2,1]
2. 每行的第一个数和最后一个数，永远是 1
   • 不管哪一行，ret[i][0] = 1，ret[i][i] = 1

完整解题步骤

我们的目标是生成前 numRows 行，所以思路很直接：一行一行生成，用上一行的结果算当前行。

1. 初始化结果数组 ：创建一个二维数组 ret，大小为 numRows 行
2. 遍历每一行 ：从第 0 行到第 numRows-1 行
3. 初始化当前行 ：
   • 给当前行分配 i+1 个空间（因为第 i 行有 i+1 个数）
   • 把当前行的第一个和最后一个元素设为 1
4. 计算当前行中间的数 ：
   • 从第 1 个位置到第 i-1 个位置（首尾已经是 1 了，不用算）
   • 每个位置的值 = 上一行的 j-1 位置 + 上一行的 j 位置
5. 所有行生成完毕，返回结果数组

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) {
        
        vector<vector<int>> ret(numRows);
        for(int i=0;i<numRows;i++){
            //遍历每一行.

            //给这个一维数组开辟出 k 个格子，准备好位置放数据。
            ret[i].resize(i+1);
            //先把头和尾变成1
            ret[i][0] = ret[i][i] = 1;
            //其他位置
            for(int j=1;j<i;j++){
                ret[i][j] = ret[i-1][j] + ret[i-1][j-1];
            }
        }
        return ret;
    }
};