单调栈与堆的经典应用：柱状图最大矩形 & 数组第 K 大元素深度解析

[一、柱状图中最大的矩形（LeetCode 84・困难）](#一、柱状图中最大的矩形（LeetCode 84・困难）)

题目描述

解题思路

核心思想

[Java 代码实现（标准单调栈版）](#Java 代码实现（标准单调栈版）)

复杂度分析

核心知识点总结

[二、数组中的第 K 个最大元素（LeetCode 215・中等）](#二、数组中的第 K 个最大元素（LeetCode 215・中等）)

题目描述

解题思路

核心思想（小顶堆）

[Java 代码实现（小顶堆版）](#Java 代码实现（小顶堆版）)

今天我们来拆解两道算法面试高频题：柱状图中最大的矩形 （单调栈难题）和数组中的第 K 个最大元素 （堆的经典应用）。这两道题分别代表了单调栈 和堆两大核心数据结构的标杆应用，吃透它们能帮你彻底掌握这两种结构的灵活使用，是算法面试的必考点。

一、柱状图中最大的矩形（LeetCode 84・困难）

题目描述

给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

示例：

plaintext

复制代码

输入：heights = [2,1,5,6,2,3]
输出：10
解释：最大的矩形为图中红色区域，面积为 10

输入：heights = [2,4]
输出：4

解题思路

这道题的核心是找到每个柱子能扩展的最大左右边界 ，从而计算以该柱子为高的最大矩形面积。暴力法时间复杂度为 O(n2)，而单调栈可以将时间复杂度优化到 O(n)。

核心思想

维护一个单调递增栈：栈中存储柱子的下标，保证栈中下标对应的高度始终递增。
遍历数组，找左右边界 ：
- 对于当前柱子 i，若栈顶柱子高度 heights[stack.peek()] >= heights[i]，说明栈顶柱子的右边界 就是 i；
- 弹出栈顶下标 top，计算以 heights[top] 为高的最大矩形面积：
  - 左边界为新的栈顶下标 left = stack.peek()（若栈空则为 -1）
  - 宽度为 i - left - 1
  - 面积为 heights[top] * 宽度
- 若栈顶高度小于当前高度，将 i 压入栈中。
处理栈中剩余元素 ：遍历结束后，栈中剩余柱子的右边界为数组长度 n，重复上述计算过程。
最终返回最大面积。

Java 代码实现（标准单调栈版）

java

运行

复制代码

import java.util.Stack;

public class LargestRectangleInHistogram {
    public int largestRectangleArea(int[] heights) {
        int n = heights.length;
        int maxArea = 0;
        // 栈中存储柱子下标，维护单调递增
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();

        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            // 用0作为哨兵，处理栈中剩余元素
            int currentHeight = (i == n) ? 0 : heights[i];
            // 当前高度小于栈顶高度，弹出并计算面积
            while (!stack.isEmpty() && heights[stack.peek()] >= currentHeight) {
                int top = stack.pop();
                int height = heights[top];
                // 左边界：栈空则为-1，否则为栈顶下标
                int left = stack.isEmpty() ? -1 : stack.peek();
                // 宽度 = 右边界(i) - 左边界(left) - 1
                int width = i - left - 1;
                maxArea = Math.max(maxArea, height * width);
            }
            stack.push(i);
        }

        return maxArea;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，每个下标入栈 / 出栈最多一次，总操作次数为 O(n)
空间复杂度：O(n)，最坏情况（严格递增）栈的大小为 O(n)

核心知识点总结

单调递增栈的作用：快速找到每个柱子的左右边界，避免暴力遍历
哨兵优化 ：在数组末尾补 0，统一处理栈中剩余元素，简化代码逻辑
边界计算 ：左边界为栈顶下标（栈空则为 -1），右边界为当前下标，宽度为 右-左-1

二、数组中的第 K 个最大元素（LeetCode 215・中等）

题目描述

给定整数数组 nums 和整数 k，请返回数组中第 k 个最大的元素。请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。你必须设计并实现时间复杂度为 O(n) 的算法解决此问题。

示例：

plaintext

复制代码

输入: [3,2,1,5,6,4], k = 2
输出: 5

输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6], k = 4
输出: 4

解题思路

这道题有两种经典解法：小顶堆 （时间复杂度 O(nlogk)）和快速选择 （时间复杂度 O(n)，平均情况），这里重点讲解面试最常用的小顶堆解法。

核心思想（小顶堆）

维护一个大小为 k 的小顶堆 ：堆顶始终是当前堆中的最小值（即前 k 大元素中的最小值）。
遍历数组 ：
- 若堆大小小于 k，直接将元素入堆；
- 若堆大小等于 k，比较当前元素与堆顶：
  - 若当前元素大于堆顶，弹出堆顶，将当前元素入堆；
  - 否则跳过。
遍历结束后，堆顶元素即为第 k 大元素。

Java 代码实现（小顶堆版）

java

运行

复制代码

import java.util.PriorityQueue;

public class KthLargestElementInArray {
    public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
        // 小顶堆，默认自然排序
        PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();

        for (int num : nums) {
            if (minHeap.size() < k) {
                minHeap.offer(num);
            } else if (num > minHeap.peek()) {
                minHeap.poll();
                minHeap.offer(num);
            }
        }

        return minHeap.peek();
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(nlogk)，每个元素入堆 / 出堆的时间复杂度为 O(logk)，遍历数组时间为 O(n)
空间复杂度 ：O(k)，堆的大小为 k

核心知识点总结

小顶堆的优势：空间复杂度低（仅需 O(k)），适合处理海量数据（如流式数据）
堆的选择 ：求第 k 大用小顶堆，求第 k 小用大顶堆
快速选择拓展：基于快速排序的分治思想，平均时间复杂度 O(n)，最坏 O(n2)，适合面试加分

三、两道题的核心对比与联系

表格

题目	核心目标	数据结构	核心逻辑
柱状图中最大的矩形	找每个柱子的最大左右边界，计算最大面积	单调递增栈	维护栈的单调性，快速定位边界，优化时间复杂度
数组中的第 K 个最大元素	找数组中第 K 大的元素	小顶堆	维护大小为 k 的小顶堆，堆顶即为第 K 大元素

核心联系

两道题分别代表了单调栈 和堆两大核心数据结构的经典应用：

单调栈：解决「找左右边界、下一个更大 / 更小元素」等序列问题，时间复杂度 O(n)
堆：解决「TopK、优先级队列」等问题，时间复杂度 O(nlogk)，空间复杂度低