01BFS：Three States

用最小的修路格子数，使所有国家都连通。

这道题直接求解比较难，我们可以参考多源BFS：矩阵距离-CSDN博客的求法，正难则反。

根据题意，相同的国家之间一定是连通的。

我们可以求出每个下标到国家1的距离，每个下标到国家2的距离，每个下标到国家3的距离。

有可能从这个++国家++开始，连通另外两个国家距离最短。
也有可能从这个++道路++开始，连通另外三个国家距离最短。

遇到道路，权值为1。遇到国家，权值为0（表示不用修路）。
最后遍历所有的点，求出点到所有国家的距离的和，距离最短的就是最优解
情况1：遍历的格子是点（道路）
- 由于这个点被统计了3次，减去多余统计的2次：x+y+z-2（各个国家为了连到同一个汇合点，需要占用多少个 '.' 这个点被修了三次，实际上只需要修一次就够了）
情况2：遍历的格子是国家
- x+y+z，因为这个格子本身就不需要修路，所以没有"重复支付这个格子的费用的问题"。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <deque>
#include <cstring>

using namespace std;
const int N = 1e3+10;
typedef pair<int, int> PII;

int n, m;

char g[N][N];
int dist[4][N][N];

int dx[] = {0, -1, 0, 1};
int dy[] = {1, 0, -1, 0};

void bfs(int num)
{
	deque<PII> q;
	memset(dist[num], -1, sizeof(dist[num]));
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			if (g[i][j] - '0' == num)
			{
				dist[num][i][j] = 0;
				q.push_back({i, j});
			}
		}
	}
	
	while(q.size())
	{
		auto t = q.front(); q.pop_front();
		int x1 = t.first, y1 = t.second;
		
		for (int i = 0; i < 4; i++)
		{
			int x2 = x1 + dx[i], y2 = y1 + dy[i];
			
			if (x2 < 1 || y2 < 1 || x2 > n || y2 > m) continue;
			if (g[x2][y2] == '#') continue;
			
			int cnt = 0;
			if (g[x2][y2] == '.') cnt = 1;
			else cnt = 0;
			
			if (dist[num][x2][y2] == -1)
			{
				dist[num][x2][y2] = dist[num][x1][y1] + cnt;
				if (cnt == 1)
				{
					q.push_back({x2, y2});
				}
				else
				{
					q.push_front({x2, y2});
				}
			}
			else
			{
				if (dist[num][x1][y1] + cnt < dist[num][x2][y2])
				{
					dist[num][x2][y2] = dist[num][x1][y1] + cnt;
				}
			}
		}
	}
}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			cin >> g[i][j];
		}
	}
	
	bfs(1);
	bfs(2);
	bfs(3);
	
	int ret = 1e6+10, cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			int a = dist[1][i][j], b = dist[2][i][j], c = dist[3][i][j];
			if (g[i][j] == '#' || a == -1 || b == -1 || c == -1 ) continue;
			
			if (g[i][j] == '.') 
			{
				ret = min(ret, a+b+c - 2);
			}
			else
			{
				ret = min(ret, a+b+c);
			}
			
		}
	}
	
	if (ret == 1e6+10) ret = -1;
	
	cout << ret << endl;
	
	return 0;
}