C++起始之路——AVL树的实现

💁‍♂️个人主页：进击的荆棘

👇作者其它专栏：

《数据结构与算法》《算法》《C++起始之路》

1.AVL的概念

2.AVL树的实现

1.AVL的概念

●AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是一颗空树，或具备下列性质的二叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是一颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡。

●AVL树得名于它的发明者G.M.Adelson-Velsky和E.M.Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

●AVL树实现这里我们引入一个平衡因子（balance facor）的概念，每个节点都有一个平衡因子，任何节点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何节点的平衡因子等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像一个风向标一样。

●为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？通过画图我们可以发现，不是不想这样设计，而是有些情况无法做到高度差为0。如：一棵树是2个节点，4个节点等情况下，高度差最好就是1，无法做到高度差是0.

●AVL树整体节点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN，那么增删查改的效率也可以控制在O（logN），相比二叉搜索树有了本质的提升。

2.AVL树的实现

2.1AVL树的结构

cpp 复制代码

template<class k,class v>
struct AVLTreeNode{
    //需要parent指针，后续更新平衡因子需要
    pair<k,v> _kv;
    AVLTreeNode<k,v>* _left;
    AVLTreeNode<k,v>* _right;
    AVLTreeNode<k,v>* _parent;

    int _bf;//平衡因子

    AVLTreeNode(const pair<k,v>& kv)
        :_kv(kv)
        ,_left(nullptr)
        ,_right(nullptr)
        ,_parent(nullptr)
        ,_bf(0)
    {}
};
template<class k,class v>
class AVLTree{
    typedef AVLTreeNode<k,v> Node;
public:
    
private:
    Node* _root=nullptr;
};

2.2AVL树的插入

2.2.1AVL树插入一个值的大概过程

1.插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。

2.新增节点后，只会影响祖先节点的高度，也就是可能会影响部分祖先节点的平衡因子，所以更新从新增节点->根节点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了。

3.更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。

4.更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

2.2.2平衡因子更新

更新原则：

●平衡因子=右子树高度-左子树高度

●只有子树高度变化才会影响当前节点平衡因子

●插入节点，会增加高度，所以新增节点再parent的右子树，parent的平衡因子++，新增节点在parent的左子树，parent平衡因子--

●parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件：

●更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的节点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父亲节点的平衡因子，更新结束。

●更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1或0->-1，说明更新前parent子树两边一样高，新增的插入节点后，parent所在的子树一边高一边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲节点的平衡因子，所以要继续向上更新。

●更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2或-1->-2，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入节点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插入节点以前的高度。所以旋转后也不需要继续向上更新，插入结束。

●不断更新，更新到根，根的平衡因子是1或-1也停止了。

更新到10节点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理

更新到中间节点，3为根的子树高度不变，不会影响上一层，更新结束

最坏更新到根停止

2.2.3插入节点更新平衡因子的代码实现

cpp 复制代码

bool Insert(const pair<k,v>& kv){
        if(!_root){
            _root=new Node(kv);
            return true;
        }
        Node* parent=nullptr;
        Node* cur=_root;
        while(cur){
            if(cur->_kv.first<kv.first){
                parent=cur;
                cur=cur->_right;
            }
            else if(cur->_kv.first>kv.first){
                parent=cur;
                cur=cur->_left;
            }
            else return false;
        }
        //开始插入
        cur=new Node(kv);
        if(cur->_kv.first<parent->_kv.first)
            parent->_left=cur;
        else parent->_right=cur;
        //父指针指向父节点
        cur->_parent=parent;
        //控制平衡
        while(parent){
            //当节点插入左边时，父节点平衡因子--
            if(cur==parent->_left)
                parent->_bf--;
            //当节点插入右边时，父节点平衡因子++
            else parent->_bf++;
            //查看树是否依旧平衡
            if(parent->_bf==0){
                //说明父节点之前是1或-1，插入新节点后，树可能不平衡
                break;
            }
            else if(parent->_bf==1||parent->_bf==-1){
                cur=parent;
                parent=cur->_parent;
            }
            else if(parent->_bf==2||parent->_bf==-2){
                //不平衡，旋转
                break;
            }
            //防止树一开始就不平衡
            else assert(false);
        }
        return true;
    }

2.3旋转

2.3.1旋转的原则

1.保持搜索树的规则

2.让旋转的树从不满足并平衡，其次降低旋转树的高度

旋转总共分为四种，左单选/右单旋/左右双旋/右左双旋。

2.3.2右单旋

●图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三颗高度为h的子树（h>=0），a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，它代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，图2/图3/图4/图5进行详细描述。

●在a子树中插入一个新节点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。

●旋转核心步骤，因为5<b子树的值<10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵树的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。若插入之前10整棵树的局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束。

2.3.3右单旋代码实现

cpp 复制代码

void RotateR(Node* parent){
        Node* subL=parent->_left;
        Node* subLR=subL->_right;
        
        parent->_left=subLR;
        //链接父节点
        if(subLR)
            subLR->_parent=parent;
        //防止找不到父结点的父结点
        Node* pparent=parent->_parent;
        subL->_right=parent;
        parent->_parent=subL;

        if(parent==_root){
            _root=subL;
            subL->_parent=nullptr;
        }
        else{
            if(pparent->_left==parent)
                pparent->_left=subL;
            else pparent->_right=subL;
            subL->_parent=pparent;
        }
        //更新平衡因子
        parent->_bf=0;
        subL->_bf=0;
    }

2.3.4左单旋

●图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树（h>=0），a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，它代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上面左旋类似。

●在a子树中插入一个新节点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上跟新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为跟的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为跟的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。

●旋转核心步骤，因为10<b子树的值<15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这颗的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。若插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束。

2.3.5左单旋的实现

cpp 复制代码

void RotateL(Node* parent){
        Node* subR=parent->_right;
        Node* subRL=subR->_left;
        
        parent->_right=subRL;
        //链接父节点
        if(subRL)
            subRL->_parent=parent;
        //防止找不到父结点的父结点
        Node* pparent=parent->_parent;
        subR->_left=parent;
        parent->_parent=subR;

        if(pparent==nullptr){
            _root=subR;
            subR->_parent=nullptr;
        }
        else{
            if(parent==pparent->_left)
                pparent->_left=subR;
            else pparent->_right=subR;
            subR->_parent=pparent;
        }
        //更新平衡因子
        parent->_bf=subR->_bf=0;
    }

2.3.6左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边高时，若插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的是存粹的左边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一个左单旋，以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树就平衡了。

●图7和图8分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下面将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外把b子树的细节进一步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增节点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里可以分3个场景讨论。

●场景1：h>=1时，新增节点插入在e子树，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。

●场景2：h>=1时，新增节点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1.

●场景3：h==0，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增节点，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。

2.3.7左右双旋代码实现

cpp 复制代码

oid RotateLR(Node* parent){
        Node* subL=parent->_left;
        Node* subLR=subL->_right;
        int bf=subLR->_bf;

        RotateL(parent->_left);
        RotateR(parent);

        if(bf==0){//更新平衡因子
            subL->_bf=0;
            subLR->_bf=0;
            parent->_bf=0;
        }
        else if(bf==-1){
            subL->_bf=0;
            subLR->_bf=0;
            parent->_bf=1;
        }
        else if(bf==1){
            subL->_bf=-1;
            subLR->_bf=0;
            parent->_bf=0;
        }
        else {
            assert(false);
        }
    }

2.3.8右左双旋

●跟左右双旋类似，下面将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外需要把b子树的细节进一步展开为12和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲15为旋转点进行右单旋，右单旋需要动b树中的右子树。b子树中新增节点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察12的平衡因子不同，这里可以分三个场景讨论。

●场景1：h>=1时，新增节点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1.

●场景2：h>=1时，新增节点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。

●场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增节点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0.

2.3.8右左双旋代码实现

cpp 复制代码

void RotateRL(Node* parent){
        Node* subR=parent->_right;
        Node* subRL=subR->_left;
        int bf=subRL->_bf;

        RotateR(parent->_right);
        RotateL(parent);

        if(bf==0){//更新平衡因子
            subR->_bf=0;
            subRL->_bf=0;
            parent->_bf=0;
        }
        else if(bf==-1){
            subR->_bf=1;
            subRL->_bf=0;
            parent->_bf=0;
        }
        else if(bf==1){
            subR->_bf=0;
            subRL->_bf=0;
            parent->_bf=-1;
        }
        else {
            assert(false);
        }
    }

2.4AVL树的查找

拿二叉搜索树的逻辑就可以实现，搜索效率为O（logN）

cpp 复制代码

Node* Find(const k& key){
        Node* cur=_root;
        while(cur){
            if(cur->_kv.first<key){
                cur=cur->_right;
            }
            else if(cur->_kv.first>key){
                cur=cur->_left;
            }
            else return cur;
        }
        return nullptr;
    }

2.5AVL树平衡检查

实现的AVL树是否合格，可以通过检查左右子树高度差的程度进行反向验证，同时检查节点的平衡因子更新是否出现问题。

cpp 复制代码

int _Height(Node* root){
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
bool _IsBalanceTree(Node* root){
		// 空树也是AVL树
		if (nullptr == root)
			return true;
		// 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		int diff = rightHeight - leftHeight;

		// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
		// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
		if (abs(diff) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_bf != diff)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
		return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
	}
void TestAVLTree1(){
	AVLTree<int, int> t;
	// 常规的测试用例
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例
	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };

	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}

	t.InOrder();
	cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}
void TestAVLTree2(){
	const int N = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
	}

	size_t begin2 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end2 = clock();

	cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
	cout << t.IsBalanceTree() << endl;

	cout << "Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "Size:" << t.Size() << endl;

	size_t begin1 = clock();
	// 确定在的值
	for (auto e : v)
	{
		t.Find(e);
	}
	// 随机值
	/*for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}*/
	size_t end1 = clock();
	cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}

C++起始之路——AVL树的实现

目录

1.AVL的概念

2.AVL树的实现

1.AVL的概念

2.AVL树的实现

2.1AVL树的结构

2.2AVL树的插入

2.2.1AVL树插入一个值的大概过程

2.2.2平衡因子更新

2.2.3插入节点更新平衡因子的代码实现

2.3旋转

2.3.1旋转的原则

2.3.2右单旋

2.3.3右单旋代码实现

2.3.4左单旋

2.3.5左单旋的实现

2.3.6左右双旋

2.3.7左右双旋代码实现

2.3.8右左双旋代码实现

2.4AVL树的查找

2.5AVL树平衡检查