基本和复合逻辑运算

基本和复合逻辑运算：数字电路的基石

前言

逻辑运算是数字电路的最基础内容。无论是组合逻辑电路还是时序逻辑电路，本质上都是由基本逻辑运算组合而成。

本文将系统讲解三种基本逻辑运算 （与、或、非）和五种复合逻辑运算（与非、或非、异或、同或、与或非），帮助你彻底掌握这些核心概念。

三种基本逻辑运算

一、与运算（AND）

定义：所有输入都为1时，输出才为1。

逻辑表达式 ：
Y = A ⋅ B = A B Y = A \cdot B = AB Y=A⋅B=AB

真值表：

A	B	Y = A·B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

口诀：有0出0，全1出1

应用场景：安全联锁、条件判断（多个条件同时满足）

二、或运算（OR）

定义：只要有一个输入为1，输出就为1。

逻辑表达式 ：
Y = A + B Y = A + B Y=A+B

真值表：

A	B	Y = A+B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

口诀：有1出1，全0出0

应用场景：报警系统、多路选择（任一条件满足即可）

三、非运算（NOT）

定义：输出与输入相反。

逻辑表达式 ：
Y = A ‾ Y = \overline{A} Y=A

真值表：

A	Y = Ā
0	1
1	0

口诀：0变1，1变0

应用场景：信号反相、逻辑取反

逻辑运算的表示方法

四种常用表示方法

方法	示例	特点
真值表	列出所有输入组合及对应输出	直观、完整
逻辑表达式	Y = AB + C	简洁、便于运算
逻辑图	用逻辑符号连接	直观、便于实现
波形图	时间-电平关系图	动态、便于时序分析

真值表的列写规则

对于n个输入变量，真值表有 2^n 行。

列写顺序：按二进制递增顺序排列（000→001→010→011→...）

五种复合逻辑运算

一、与非运算（NAND）

定义：与运算后再取非。

逻辑表达式 ：
Y = A ⋅ B ‾ = A B ‾ Y = \overline{A \cdot B} = \overline{AB} Y=A⋅B=AB

真值表：

A	B	Y = NAND
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

口诀：有0出1，全1出0（与运算的相反）

特点：

是通用门，可以单独实现任何逻辑函数
实际电路中应用最广泛

二、或非运算（NOR）

定义：或运算后再取非。

逻辑表达式 ：
Y = A + B ‾ Y = \overline{A + B} Y=A+B

真值表：

A	B	Y = NOR
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

口诀：有1出0，全0出1（或运算的相反）

特点：

也是通用门
实际电路中较少单独使用

三、异或运算（XOR）⭐ 重要

定义：两个输入不同时输出为1，相同时输出为0。

逻辑表达式 ：
Y = A ⊕ B = A B ‾ + A ‾ B Y = A \oplus B = A\overline{B} + \overline{A}B Y=A⊕B=AB+AB

真值表：

A	B	Y = A⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

口诀：相同出0，不同出1

重要性质：

性质	表达式
交换律	A ⊕ B = B ⊕ A
结合律	(A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C)
与0异或	A ⊕ 0 = A
与1异或	A ⊕ 1 = Ā
自反性	A ⊕ A = 0
偶数个A异或	A ⊕ A ⊕ A ⊕ A = 0

应用场景：

比较两数是否相等
奇偶校验
加法器的进位生成
数据加密

四、同或运算（XNOR）

定义：两个输入相同时输出为1，不同时输出为0。

逻辑表达式 ：
Y = A ⊙ B = A ⊕ B ‾ = A B + A ‾ B ‾ Y = A \odot B = \overline{A \oplus B} = AB + \overline{A}\overline{B} Y=A⊙B=A⊕B=AB+AB

真值表：

A	B	Y = A⊙B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

口诀：相同出1，不同出0

关系：
A ⊙ B = A ⊕ B ‾ A \odot B = \overline{A \oplus B} A⊙B=A⊕B

应用场景：

比较两数是否相等（输出为1表示相等）
数值比较器

五、与或非运算（AOI）

定义：先与、后或、再非。

逻辑表达式 ：
Y = A B + C D ‾ Y = \overline{AB + CD} Y=AB+CD

特点：

是一种复合逻辑门
在CMOS电路中实现效率高
常用于标准单元库

逻辑运算的完备性

什么是完备性？

如果一个逻辑门的集合可以单独实现任何逻辑函数 ，则称该集合是功能完备的。

完备集

完备集	说明
{与, 或, 非}	最基本的完备集
{与非}	单独一个与非门就是完备的
{或非}	单独一个或非门就是完备的
{与, 非}	与 + 非可以构造或
{或, 非}	或 + 非可以构造与

非完备集

非完备集	原因
{与, 或}	无法实现非运算
{异或}	无法实现与运算
{同或}	无法实现与运算

用与非门实现基本运算

实现非运算 ：
A ‾ = A ⋅ A ‾ \overline{A} = \overline{A \cdot A} A=A⋅A

（将与非门两个输入接在一起）

实现与运算 ：
A B = A B ‾ ‾ AB = \overline{\overline{AB}} AB=AB

（与非门后接一个非门，或两级与非门）

实现或运算 （德摩根定律）：
A + B = A ‾ ⋅ B ‾ ‾ A + B = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} A+B=A⋅B

（先非，再与非）

逻辑符号与国标

基本逻辑门符号（国标GB/T 4728）

逻辑门	国标符号	特征
与门	方框内写"&"	输出端无圆圈
或门	方框内写"≥1"	输出端无圆圈
非门	三角形 + 圆圈	输出端有圆圈
与非门	方框内写"&" + 圆圈	输出端有圆圈
或非门	方框内写"≥1" + 圆圈	输出端有圆圈
异或门	方框内写"=1"	输出端无圆圈
同或门	方框内写"=1" + 圆圈	输出端有圆圈

符号中的圆圈含义

圆圈表示"取反"：

输入端的圆圈：输入信号先取反再进入逻辑
输出端的圆圈：逻辑运算结果取反后输出

典型例题

例题一：写出逻辑表达式的真值表

写出 Y = A⊕B + ĀC 的真值表。

【解】

对于3个变量A、B、C，有 2³ = 8 种组合。

A	B	C	A⊕B	Ā	ĀC	Y = A⊕B + ĀC
0	0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
0	1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1
1	0	1	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0	0

例题二：用与非门实现 Y = A + B

【解】

根据德摩根定律：
A + B = A ‾ ⋅ B ‾ ‾ A + B = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} A+B=A⋅B

实现步骤：

用与非门实现非运算：Ā = NAND(A, A)，B̄ = NAND(B, B)
再用与非门：Y = NAND(Ā, B̄)

需要3个与非门。

例题三：证明异或运算的结合律

证明：(A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C)

【证】

利用真值表证明：

A	B	C	A⊕B	(A⊕B)⊕C	B⊕C	A⊕(B⊕C)
0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	1
0	1	1	1	0	0	0
1	0	0	1	1	0	1
1	0	1	1	0	1	0
1	1	0	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

对比第5列和第7列，完全相同，得证。

总结与记忆口诀

基本逻辑运算速记表

运算	表达式	口诀	特点
与	Y = AB	有0出0，全1出1	条件同时满足
或	Y = A+B	有1出1，全0出0	条件任一满足
非	Y = Ā	0变1，1变0	取反

复合逻辑运算速记表

运算	表达式	口诀	特点
与非	Y = AB̄	有0出1，全1出0	通用门
或非	Y = A+B̄	有1出0，全0出1	通用门
异或	Y = A⊕B	相同出0，不同出1	比较、加法
同或	Y = A⊙B	相同出1，不同出0	相等判断
与或非	Y = AB+CD̄	先与后或再非	CMOS高效

完备性口诀

与非单独能实现，或非同样也完备
与或非三缺一不可，异或同或不完备

异或运算口诀

与0异或不变，与1异或取反
自己异或自己，结果一定是0

基本和复合逻辑运算