推荐系统常用指标NDCG含义及公式

NDCG（Normalized Discounted Cumulative Gain，归一化折损累计收益）是信息检索和推荐系统中最核心的评价指标之一。在评估基于大语言模型的重排（Re-ranking）或召回系统时，单纯依靠命中率（Hit Rate）往往不够，因为我们需要衡量排在前面的结果是否是最相关的。

NDCG 的核心思想建立在两个假设之上：

高相关性的结果比一般相关性的结果更有价值。
排名越靠前的结果，被用户看到和点击的概率越大，因此其价值权重应该更高。

为了彻底搞懂 NDCG，我们需要把它拆解为四个步骤：CG →\rightarrow→ DCG →\rightarrow→ IDCG →\rightarrow→ NDCG。

1. CG (Cumulative Gain) - 累计收益

最基础的一步是把推荐列表中前 ppp 个结果的相关性得分直接相加。
CGp=∑i=1preliCG_p = \sum_{i=1}^{p} rel_iCGp=i=1∑preli

ppp: 评估的截断位置（例如 NDCG@10 中的 10）。
relirel_ireli: 列表中第 iii 个位置物品的真实相关性得分（通常是人工标注或从用户反馈中定义的，如 0=不相关，1=弱相关，2=强相关）。

缺陷： CG 没有考虑位置因素。无论最相关的物品是排在第 1 位还是第 10 位，算出来的 CG 都是一样的。

2. DCG (Discounted Cumulative Gain) - 折损累计收益

为了解决位置权重的问题，DCG 引入了"折损（Discount）"机制。排名越靠后，折损越严重（通常通过对数函数来实现）。
DCGp=∑i=1prelilog⁡2(i+1)DCG_p = \sum_{i=1}^{p} \frac{rel_i}{\log_2(i+1)}DCGp=i=1∑plog2(i+1)reli
在一些工业界场景（包括像搜索或重排任务中更强调突出强相关物品时），通常会采用另一种指数形式的变形：
DCGp=∑i=1p2reli−1log⁡2(i+1)DCG_p = \sum_{i=1}^{p} \frac{2^{rel_i} - 1}{\log_2(i+1)}DCGp=i=1∑plog2(i+1)2reli−1

这种变形能够成倍放大高相关性物品的权重，从而严惩将极其相关的物品排在后面的策略。

3. IDCG (Ideal DCG) - 理想折损累计收益

缺陷： 不同的查询（Query）或用户交互历史，其候选集中的相关物品数量是不同的。比如 Query A 有 10 个相关商品，Query B 只有 2 个相关商品。直接对比这两者的 DCG 是不公平的，Query A 的 DCG 天生就会更高。

为了实现跨 Query 的横向对比，我们需要找到这个 Query 下完美的排序状态 。IDCG 就是将候选集中的物品按照相关性得分**从大到小（降序）**重新排列后，计算出的完美 DCG 值。
IDCGp=∑i=1∣RELp∣reliideallog⁡2(i+1)IDCG_p = \sum_{i=1}^{|REL_p|} \frac{rel_i^{ideal}}{\log_2(i+1)}IDCGp=i=1∑∣RELp∣log2(i+1)reliideal

∣RELp∣|REL_p|∣RELp∣: 表示在理想状态下，排在前 ppp 个位置的最优相关性得分序列。

4. NDCG (Normalized DCG) - 归一化折损累计收益

最后一步，将实际的 DCG 处于理想的 IDCG，将指标压缩到 $0,1$ $0, 1$ $0,1$ 的区间内。
NDCGp=DCGpIDCGpNDCG_p = \frac{DCG_p}{IDCG_p}NDCGp=IDCGpDCGp

NDCG = 1：意味着推荐模型的排序与完美排序完全一致。
NDCG 越接近 0：排序效果越差，高相关性的物品都被排到了后面。