📘 教案 05：贪心算法（Greedy Algorithm）
1. 问题定义
贪心算法用于解决一类问题：
在每一步做"当前最优选择"，期望得到全局最优解
2. 核心思想
局部最优 → 全局最优
3. 核心术语
3.1 贪心选择（Greedy Choice）
定义：
在当前状态下，选择"看起来最优"的决策
3.2 全局最优（Global Optimum）
定义：
问题的最终最优解
3.3 贪心性质（Greedy Property）
定义：
局部最优选择可以导出全局最优解
👉 这是贪心算法成立的必要条件
4. 贪心 vs 动态规划（核心对比）
| 项目 | 贪心 | 动态规划 |
|---|---|---|
| 决策方式 | 每一步最优 | 综合考虑 |
| 是否回溯 | ❌ | ✅ |
| 是否保证最优 | 仅部分问题 | 所有适用问题 |
| 复杂度 | 低 | 较高 |
5. 贪心算法基本结构
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for 每一步:
选择当前最优👉 没有"回头"
6. 什么时候可以用贪心？
必须满足两个条件：
6.1 最优子结构（和DP一样）
6.2 贪心选择性质（关键）
当前最优选择不会影响后续最优性
7. 示例1：活动选择问题（经典）
问题：
给定多个活动：
(starti,endi)\]\[ (start_i, end_i) \]\[(starti,endi)
选择最多互不重叠的活动
贪心策略：
按结束时间最早排序，优先选结束早的
为什么成立？
- 结束越早 → 留给后面的空间越大
算法：
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按 end 排序
选择第一个活动
for 后续活动:
if start ≥ 当前结束:
选择时间复杂度：
O(nlogn)\]\[ O(n \\log n) \]\[O(nlogn)
8. 示例2：区间覆盖
问题：
用最少区间覆盖一个目标区间
贪心策略：
每次选择"起点 ≤ 当前点，且终点最远"的区间
本质：
👉 每一步"扩展最远"
9. 示例3：最小生成树（贪心应用）
Kruskal 算法
策略：
按边权从小到大选边，不形成环
本质：
👉 每一步选"当前最小代价"
10. 示例4：Dijkstra（单源最短路径）
条件：
所有边权非负
贪心策略：
每次选当前距离最小的点
👉 一旦确定，就不再改变
11. 反例（必须讲）
❌ 反例：零钱问题（某些情况）
币值：
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1, 3, 4目标：6
贪心：
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4 + 1 + 1 = 3枚最优：
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3 + 3 = 2枚👉 贪心失败
12. 为什么贪心会失败？
因为：
局部最优 ≠ 全局最优
13. 如何判断能不能用贪心？
方法1：证明（严格）
证明：
- 贪心选择不会变差
方法2：反例测试（实用）
- 构造反例
- 若失败 → 不能用贪心
14. 贪心算法常见类型
| 类型 | 策略 |
|---|---|
| 区间问题 | 选结束最早 |
| 覆盖问题 | 选延伸最远 |
| 路径问题 | 选当前最短 |
| 排序问题 | 排序后贪心 |
15. 常见错误
❌ 错误1：看到最优就用贪心
👉 必须验证贪心性质
❌ 错误2：忽略约束条件
❌ 错误3：不会构造反例
16. 关键结论
- 贪心 = 局部最优决策
- 不一定正确
- 必须证明或验证
- 优点是简单高效