笛卡尔积
笛卡尔积证明和集合也一样
笛卡尔积不满足交换律 结合律
三种关系-复合关系和逆-关系闭包-等价关系等价类-偏序关系
关系的个数------关系的定义
关系是 A×A 的子集
子集有
在集合论中，从集合 AA 到集合 BB 的一个关系定义为 A×BA×B 的任意子集。因此，从 AA 到 BB 的不同关系的数量就是 A×BA×B 的幂集的大小。
对角线元素必须包含，仅需考虑非对角线的元素的组合
关系
关系有两种，一种是自身到自身的，一种是自身到别人的。
关系的定义是，从集合 A 到集合 B 的一个关系定义为 A×B 的任意子集。因此，从 A 到 B 的不同关系的数量就是 A×B 的幂集的大小。
三大关系性质都是基于AXA这种自身到自身的关系而言的！！！
一般翻译都会适用矩阵充要条件或定义条件
新集合的性质推导
由果推因，先将自反性、对称性、传递性的定义列出来，利用原集合推导（要证即证）
证明单个集合性质------定义 设参数法
证明复合关系相等------设参数法
将每个复合关系都变换为<a,b>，对复合的关系设参数，几个关系就多加一个参数
<a,d>∈R(SH)
R(SH) ，a∈A，b∈B，<a,b>∈R，d∈D，<b,d>∈SH，c∈C，使得<a,b>∈R <b,c>∈S <c,d>∈H
复合关系的计算------利用关系矩阵相乘再相加
多次可达取并集
切记对环路闭包时要加自环
关系不成立用反证：
对称+传递=自反性！！！
对称+传递必定可以推导出自反性！！！
传递闭包的等价翻译------ 或者 传递关系翻译为
等价关系和等价类
证明等价关系，由集合族（商集）求等价关系 记忆等价类的定义 等价类的性质
等价关系：①自反性 ②对称性 ③传递性
等价类与代表元
从元素角度来看，与1满足模3关系的元素是1 4 7 10，因此[1]作为代表元[1]=[4]=[7]=[10]
所有的等价类构成对集合的一个划分
所有的划分构成的集合叫做商集
A/R实际上是集合族，内部元素是集合，即和a满足关系的其他元素的集合
由于A/R关系是集合 也是 划分，因此可以用一个集合族对集合进行划分
由此引出了求C商集 决定的等价关系的题目：
将等价类内部的元素求笛卡尔积，就满足了自反对称传递的性质
同样的等价关系可以推导同样的划分（商集）
等价关系划分数
A能被R几划分为等价关系，隔板法！
S(n,k) 表示将 n 个元素划分为 k 个非空子集的方式数
划分数是这个：，
而在每个划分下，有多少等价类，才是商集的势
划分数就是对A有几种划分方式 就是商集之集的势；
在某一种划分（等价关系）下，A被划分为几半，就是等价类个数，就是商集的势
切蛋糕，有（划分方式）种下刀方式，将蛋糕分成（等价类个数）瓣。
刀就是等价关系，商集就是被切后的蛋糕，每一块蛋糕就是一个等价类。
求几种切蛋糕的方法就是隔板法，计算商集大小就是求有几片蛋糕！
整除 模 的等价关系证明：设k法，将整除和模的关系转化为代数关系
偏序关系
覆盖关系：在(1,2)(1,4)之间插不进满足偏序的元素就叫2覆盖1，4覆盖1，如果(1,2)(1,4)(2,4)则在14之间插入了2，4就不覆盖1了，这里的覆盖都是指的直接覆盖。
给出哈斯图，一定能确定唯一的偏序集。
任何元素都覆盖自己，因此极元要求彻底比自己小/大
最元由于自身覆盖自身，所以要带等号
最元：任何元素都比他小:P中所有元素都要被自己覆盖，因此是等于
极元：没有元素能覆盖它:
不知道怎么看先画图或关系表，最元要求与其余元素都构成覆盖关系才可以。
最元必定是极元，且最元唯一，极元不唯一
满足小于等于即可，因此最小的元素可以在集合内
函数
元素个数+证明满射单射
单射且出射必须都出射
元素个数
子集有多少个，就是从6个元素中挑选，每个元素都可能被挑或不挑
A中每个元素都要选择B中的一个像，投影三次，因此2的3次方
单射的充要条件
满射的充要条件
很偏的定义：自然映射，多对一，输出为等价类这个集合
证明单射满射
单射------带入验证
单射不存在------带特殊值入说明
满射不存在------找一个值域NXN的值(x,x)，与函数通式对比
满射存在------说明
复合函数
考证明，翻译
满射证明从后向前 单射证明从前向后
满射就是找b
逆函数
可逆等价于双射
可逆翻译为
对任意b∈B，存在a∈A，st
