深度剖析：动态规划的分类及实例

如你所知，动态规划可以根据问题特性分为多种类型，以下是几种经典问题类型及对应的实例。

背包问题

背包问题是一种资源类问题，涉及在给定约束条件下如何最大化目标值。常见的是 0-1 背包、完全背包、多重背包。

0-1 背包问题：每个物品只选择一次

典型题目：分割等和子集

题目描述：给定一个只包含正整数的数组，判断是否可以将它分割成两个子集，使得两个子集的和相等。

解题思路：

这个题目可以换一种思路，给定一个只包含正整数的非空数组，判断是否可以从数组中选出一些数字，使得这些数字的和等于整个数组的元素和的一半。因此这个问题可以转换成 0−1 背包问题 。这道题与传统的 0−1 背包问题 的区别在于，传统的 0−1 背包问题要求选取的物品的重量之和不能超过背包的总容量，这道题则要求选取的数字的和恰好等于整个数组的元素和的一半。

在使用动态规划求解之前，首先需要进行以下判断：

1. 根据数组的长度 n 判断数组是否可以被划分。如果 n<2，则不可能将数组分割成元素和相等的两个子集，因此直接返回 false。

2. 为了能实现目标值为 target/2，如果 target 是奇数直接返回 false。

创建动态数组 dp，dpj 表示能否从数组的前几个元素中选出一个子集，使得子集的和等于 j。dpj 是一个布尔值，初始状态是 dp0 为 true,因为不选任何元素，和为 0 是可行的。对于每个 numsi，我们有两种选择：

• 如果不选 numsi：子集的和仍然是 j，所以 dpj = dpj；
• 如果选 numsi：在选这个数之前，子集的和仍然是 j-numsi。如果能从之前的元素中找到和为 j-numsi，那么 dpj = dpj-nums\[i] || dpj。其中，dpj 表示上一次的值，即以前就可以组成和为 j 的子集（不依赖 numsi），那么此时依然可以组成和为 j。

代码如下：

bool canPartition(vector<int>& nums) {
    int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
    if (sum % 2 != 0) return false;
    int target = sum / 2;
    vector<bool> dp(target + 1, false);
    dp[0] = true;  // 和为 0 总是可以实现的
    for (int num : nums) {
        for (int j = target; j >= num; --j) {
            dp[j] = dp[j] || dp[j - num];
        }
    }
    return dp[target];
}

• 时间复杂度：O(n*target)
• 空间复杂度：O(target)

好了，本篇文章的介绍到这里就结束了，希望对大家的学习有所帮助哦！