雷达度量衡量

CFAR 恒虚警检测

所在阶段：RD 谱生成后 → 对每个单元做"有无目标"判决
一句话：自适应门限检测，保持虚警概率恒定。

作用：在杂波、噪声强度变化时，自动调高/调低门限
目的：只判 有 / 无，不估精准参数
典型：CA-CFAR、GO-CFAR、SO-CFAR、OS-CFAR
地位：雷达工程最常用检测手段

核心思想：用参考单元估计噪声/杂波功率

门限：
T=α⋅σ^2 T = \alpha \cdot \hat{\sigma}^2 T=α⋅σ^2
常见类型
- CA-CFAR：单元平均
- GO/SO-CFAR：多目标/杂波边缘
- OS-CFAR：有序统计

GLRT 广义似然比检测

所在阶段：同 CFAR ------ RD 谱单元"有无目标"检测
一句话：统计最优检测，把未知参数（幅度、相位）用极大似然消掉。

比 CFAR 理论更优
对未知参数有鲁棒性
常用来做检测器设计、理论性能基准
可和 CFAR 结合：GLRT 定检验统计量，CFAR 控虚警

似然比：
L(z)=p(z∣H1)p(z∣H0) L(\mathbf{z}) = \frac{p(\mathbf{z} | H_1)}{p(\mathbf{z} | H_0)} L(z)=p(z∣H0)p(z∣H1)

广义似然比（对未知参数求极大）：
GLRT(z)=max⁡θ∈H1p(z∣θ)max⁡θ∈H0p(z∣θ)≷H0H1η \mathrm{GLRT}(\mathbf{z}) = \frac{\max_{\theta\in H_1} p(\mathbf{z}|\theta)}{\max_{\theta\in H_0} p(\mathbf{z}|\theta)} \gtrless_{H_0}^{H_1} \eta GLRT(z)=maxθ∈H0p(z∣θ)maxθ∈H1p(z∣θ)≷H0H1η

CRB 克拉美罗下界

所在阶段：检测之后 → 参数估计（距离/速度/角度）
一句话：无偏估计能达到的理论最高精度下限**。**

不判有无，只管估得准不准
给出测距/测速/测角的误差方差最低极限
用来评价 EKF、ML、相位法、插值法好不好
不实时运行，只用于算法性能分析

对参数 θ\thetaθ：
Var(θ^)≥CRB(θ) \mathrm{Var}(\hat{\theta}) \ge \mathrm{CRB}(\theta) Var(θ^)≥CRB(θ)

模糊函数 AF (Ambiguity Function)

所在阶段：波形设计 → 测距测速性能分析
一句话：描述雷达波形在距离---多普勒二维的分辨与模糊特性**。**

看两个东西：
1）距离分辨率（尖不尖）
2）多普勒分辨率（尖不尖）
3）是否模糊（旁瓣高不高）
理想：图钉型（主峰尖、旁瓣低）
LFM 是刀刃型，巴克码近图钉型

χ(τ,fd)=∫−∞∞s(t)s∗(t−τ)e−j2πfdtdt \chi(\tau,f_d) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) s^*(t-\tau) e^{-j2\pi f_d t} dt χ(τ,fd)=∫−∞∞s(t)s∗(t−τ)e−j2πfdtdt

MMSE 最小均方误差

所在阶段：参数估计 / 跟踪滤波（EKF/KF都属于MMSE类）
一句话：让 估计值与真值的均方误差最小的最优估计准则。

估计：距离、速度、角度、状态
跟踪：α-β、KF、EKF 都是MMSE递推实现
追求：估计误差尽可能小、平滑、稳定

SNR 信噪比

所在阶段：全流程基础（检测 + 估计 + 跟踪都依赖它）
一句话：信号功率与噪声功率的比值，决定雷达所有性能。

检测概率 PdP_dPd由 SNR 直接决定
估计误差（CRB、MMSE）随 SNR 提升而下降
模糊函数主峰对比度由 SNR 决定
是 CFAR / GLRT / 奈曼皮尔逊的输入根基

公式：
SNR=∣s∣2σn2 \text{SNR} = \frac{|s|^2}{\sigma_n^2} SNR=σn2∣s∣2

奈曼--皮尔逊准则 Neyman--Pearson

所在阶段：RD 谱单元检测（与 CFAR/GLRT 同层）
一句话：固定虚警概率 PfaP_{fa}Pfa，让探测概率 PdP_dPd 最大------雷达标准最优检测准则**。

判决规则：
L(z)=p(z∣H1)p(z∣H0)≷H0H1η L(\mathbf{z}) = \frac{p(\mathbf{z}|H_1)}{p(\mathbf{z}|H_0)} \gtrless_{H_0}^{H_1} \eta L(z)=p(z∣H0)p(z∣H1)≷H0H1η

高斯噪声下探测概率公式：
Pd=Q(Q−1(Pfa)−SNR) P_d = Q\left( Q^{-1}(P_{fa}) - \sqrt{\text{SNR}} \right) Pd=Q(Q−1(Pfa)−SNR )

Q(⋅)Q(\cdot)Q(⋅)：高斯尾部函数
PfaP_{fa}Pfa：虚警概率
SNR\text{SNR}SNR：信噪比

场景

波形设计

用 AF 模糊函数 决定分辨力、模糊特性
接收与 RD 谱

脉冲压缩 → 多普勒处理 → 得到 RD 谱
单元检测

以 SNR 为基础
- CFAR ：工程自适应门限，控 PfaP_{fa}Pfa
- GLRT：理论最优检测器
- 奈曼--皮尔逊 ：最优判决准则，算 PdP_dPd
参数估计

检测"有目标"后开始估计距离/速度
- MMSE：最优估计准则（KF/EKF 都属于它）
- CRB ：估计精度的理论下限，无法超越

EKF 扩展卡尔曼滤波

一、雷达为什么必须用 EKF？

目标运动、雷达观测不是线性方程
- 雷达观测：距离 r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}r=x2+y2 、俯仰/方位角、多普勒速度
- 全是根号、三角函数，非线性
标准 KF 只适用于线性系统，直接用会发散、跟踪炸裂
EKF核心思想 ：
在当前估计点做一阶泰勒展开+雅可比矩阵线性化 ，
把非线性系统「局部临时变线性」，再套卡尔曼滤波。

二、定义雷达非线性系统模型

1. 状态方程（目标运动非线性）

xk=f(xk−1)+wk−1 \boldsymbol x_k = f(\boldsymbol x_{k-1}) + \boldsymbol w_{k-1} xk=f(xk−1)+wk−1

xk\boldsymbol x_kxk：目标状态（雷达常用：位置+速度）
x= $xx˙yy˙$ T \boldsymbol x = \begin{bmatrix}x & \dot x & y & \dot y\end{bmatrix}^T x= $xx˙yy˙$ T
f(⋅)f(\cdot)f(⋅)：非线性状态转移函数（匀速/匀加速运动模型）
w\boldsymbol ww：过程噪声，高斯白噪声，协方差 (\boldsymbol Q)

2. 观测方程（雷达观测强非线性）

雷达真实观测：斜距、方位角、径向速度
zk=h(xk)+vk \boldsymbol z_k = h(\boldsymbol x_k) + \boldsymbol v_k zk=h(xk)+vk

观测非线性函数：
h(x)= $x2+y2arctan(yx)xx˙+yy˙x2+y2$ h(\boldsymbol x)= \begin{bmatrix} \sqrt{x^2+y^2} \\ \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) \\ \dfrac{x\dot x + y\dot y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{bmatrix} h(x)= x2+y2 arctan(xy)x2+y2 xx˙+yy˙

v\boldsymbol vv：观测噪声，协方差 R\boldsymbol RR
距离、角度、径向速度全部非线性 → 必须EKF

三、关键数学工具：一阶泰勒线性化

对任意非线性函数，在上一时刻最优估计 (\hat{\boldsymbol x}) 处展开：
f(x)≈f(x^)+∂f∂x∣x^(x−x^) f(\boldsymbol x) \approx f(\hat{\boldsymbol x}) +\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol x}\right|_{\hat{\boldsymbol x}} (\boldsymbol x-\hat{\boldsymbol x}) f(x)≈f(x^)+∂x∂f x^(x−x^)

定义两个雅可比矩阵（EKF核心）：

状态转移雅可比：
F=∇f=∂f∂x \boldsymbol F = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol x} F=∇f=∂x∂f
观测雅可比：
H=∇h=∂h∂x \boldsymbol H = \nabla h = \frac{\partial h}{\partial \boldsymbol x} H=∇h=∂x∂h

雷达里：每一步跟踪，都要实时计算 H 矩阵，因为角度/距离随目标位置时刻变化。

四、EKF 完整五步推导（标准递推）

步骤1：状态预测（时间更新）

非线性传播，不近似：
x^k∣k−1=f(x^k−1∣k−1) \hat{\boldsymbol x}{k|k-1} = f(\hat{\boldsymbol x}{k-1|k-1}) x^k∣k−1=f(x^k−1∣k−1)

步骤2：协方差预测（用雅可比线性化）

Pk∣k−1=FkPk−1∣k−1FkT+Q \boldsymbol P_{k|k-1} = \boldsymbol F_{k} \boldsymbol P_{k-1|k-1} \boldsymbol F_k^T + \boldsymbol Q Pk∣k−1=FkPk−1∣k−1FkT+Q

步骤3：计算观测残差（新息）

雷达真实观测 − 模型预测观测：
ek=zk−h(x^k∣k−1) \boldsymbol e_k = \boldsymbol z_k - h(\hat{\boldsymbol x}_{k|k-1}) ek=zk−h(x^k∣k−1)

残差：反映「雷达实测」和「预测轨迹」的偏差

步骤4：卡尔曼增益计算

Kk=Pk∣k−1HkT(HkPk∣k−1HkT+R)−1 \boldsymbol K_k = \boldsymbol P_{k|k-1} \boldsymbol H_k^T \big(\boldsymbol H_k \boldsymbol P_{k|k-1} \boldsymbol H_k^T + \boldsymbol R\big)^{-1} Kk=Pk∣k−1HkT(HkPk∣k−1HkT+R)−1

物理意义：

噪声小、观测准 → 增益大，相信雷达测量
杂波强、野值多 → 增益压低

步骤5：状态+协方差更新（量测更新）

x^k∣k=x^k∣k−1+KkekPk∣k=(I−KkHk)Pk∣k−1 \hat{\boldsymbol x}{k|k} = \hat{\boldsymbol x}{k|k-1} + \boldsymbol K_k \boldsymbol e_k \boldsymbol P_{k|k} = \big(\boldsymbol I - \boldsymbol K_k \boldsymbol H_k\big)\boldsymbol P_{k|k-1} x^k∣k=x^k∣k−1+KkekPk∣k=(I−KkHk)Pk∣k−1

五、雷达专属：观测雅可比 H 举例（最简二维）

状态 x= $x,x˙,y,y˙$ T\boldsymbol x= $x,\\dot x,y,\\dot y$ ^Tx= $x,x˙,y,y˙$ T

观测：距离 r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}r=x2+y2

H= $\partialr\partialx0\partialr\partialy0-yr20xr20$ \boldsymbol H = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial r}{\partial x} & 0 & \dfrac{\partial r}{\partial y} & 0 \\ $4pt$ -\dfrac{y}{r^2} & 0 & \dfrac{x}{r^2} & 0 \end{bmatrix} H= ∂x∂r−r2y00∂y∂rr2x00

雷达每帧都要重新算，是非线性观测的核心体现。

串联总结

雷达输出：RD谱 → CFAR/GLRT检测 → 提取距离、角度、多普勒速度（非线性观测）
目标运动是非线性机动
普通KF不能用，因此用 EKF：一阶线性化+雅可比
EKF输出平滑航迹、高精度参数估计
雷达杂波/野值多 → 升级为 Robust EKF
EKF估计误差下限 = CRB
估计最优准则 = MMSE