质数相关知识

判断质数

对于一个数n，不借助后面质数数组的情况下，我们可以从2往后遍历来判断n是否有因子，从而判断其是否为质数。也就是从小到大找第一个质因子。时间复杂度O()。

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bool is_prime(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n  / i; i ++)
        if(n % i == 0)return false;

    return true;
}

筛质数

目标：获得质数数组、O(1)判断一个数是不是质数

扩展：获得一个数的最小质因子

所需数组：

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int primes[N], cnt; // 质数数组
bool st[N]; // 判断质数
int p[N]; // 最小质因子（可选）

普通筛，用遍历到的数的倍数筛掉合数，时间复杂度O(nloglog n)

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void sieve(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i])primes[cnt ++] = i;
        for(int j = i * 2; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}

可以发现，在遍历的i时候明显重复给某些合数赋值了，比如12会在i=2，i=3，i=4，i=6的时候反复被筛掉。

埃式筛，用质数的倍数去筛掉合数，时间复杂度O(nloglog n)

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void sieve(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt ++] = i;
            for(int j = i * 2; j <= n; j += i)
                st[j] = true;
        }
    }
}

在遍历的i时候还是会有某些质数重复给某些合数赋值，比如12会在i=2，i=3的时候反复被筛掉。

线性筛，用最小的质因子去筛掉对应合数，时间复杂度O(n)

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void sieve(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i])primes[cnt ++] = i;
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0)break;
        }
    }
}

可以分析一下为什么是这样的:

因为j从小到大遍历，即质数从小到大遍历，所以primes $j$ 一定小于等于i的最小质因子，因为

if(i % primes $j$ != 0)，那么说明i的最小质因子还没有被遍历到，

if(i % primes $j$ == 0)，这时候说明i的最小质因子就是primes $j$ ，直接break，

这样就可以保证primes $j$ * i的最小质因子就是primes $j$

所以我们就一直在用最小质因子去筛合数，每个合数只会被遍历一次。

存下这个最小质因子就很简单了

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void sieve(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i])primes[cnt ++] = i, p[i] = i;
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            p[primes[j] * i]  = primes[j];
            if(i % primes[j] == 0)break;
        }
    }
}

分解质因数

一个大于1的数可以被分解为若干个质数的乘积

从小到大找即可，下面输出质因子及个数

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void work(int x)
{
    for(int i = 2; i <= x / i; i ++)
    {
        int cnt = 0;
        if(x % i == 0)
        {
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i; 
                cnt ++;
            }
            cout<<i<<' '<<cnt<<endl;
        }
    }
    if(x > 1)cout<<x<<' '<<1<<endl;
}