一、什么是偏导数？
偏导数是多元函数对其中一个变量的导数，而将其他变量视为常数。
对于二元函数 z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y)，偏导数有两种：
- 对 xxx 的偏导数 ：∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}∂x∂z 或 fx(x,y)f_x(x, y)fx(x,y)
- 对 yyy 的偏导数 ：∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y}∂y∂z 或 fy(x,y)f_y(x, y)fy(x,y)
二、为什么需要偏导数？
在实际问题中，很多量依赖于多个因素。例如：
- 气温同时取决于经度、纬度、海拔
- 产品销量同时受价格、广告投入、季节影响
当我们想研究某个因素单独变化对结果的影响时，就需要偏导数。
三、如何计算偏导数？
核心方法
将其他变量视为常数，用普通求导法则对目标变量求导。
示例
例1 ：设 z=x2+3xy+y3z = x^2 + 3xy + y^3z=x2+3xy+y3
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对 xxx 求偏导：把 yyy 当常数
∂z∂x=2x+3y\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y∂x∂z=2x+3y -
对 yyy 求偏导：把 xxx 当常数
∂z∂y=3x+3y2\frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 3y^2∂y∂z=3x+3y2
例2 ：设 z=x2sinyz = x^2 \sin yz=x2siny
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对 xxx 求偏导：
∂z∂x=2xsiny\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \sin y∂x∂z=2xsiny -
对 yyy 求偏导：
∂z∂y=x2cosy\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 \cos y∂y∂z=x2cosy
例3 ：设 z=exyz = e^{xy}z=exy
-
对 xxx 求偏导：
∂z∂x=y⋅exy\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot e^{xy}∂x∂z=y⋅exy -
对 yyy 求偏导：
∂z∂y=x⋅exy\frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot e^{xy}∂y∂z=x⋅exy
四、几何意义
偏导数 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}∂x∂z 表示曲面沿 xxx 轴方向的切线斜率（保持 yyy 固定）。
类比：站在山坡上，只向东走时的坡度就是 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}∂x∂z。
五、高阶偏导数
对偏导数再次求偏导：
-
∂2z∂x2=∂∂x(∂z∂x)\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)∂x2∂2z=∂x∂(∂x∂z)
-
混合偏导数 ：∂2z∂x∂y=∂∂y(∂z∂x)\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)∂x∂y∂2z=∂y∂(∂x∂z)
定理 ：若混合偏导数连续，则 ∂2z∂x∂y=∂2z∂y∂x\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}∂x∂y∂2z=∂y∂x∂2z
六、练习题目
题目一
设 z=x3y2+2x−3y+1z = x^3 y^2 + 2x - 3y + 1z=x3y2+2x−3y+1，求 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}∂x∂z 和 ∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y}∂y∂z。
题目二
设 z=ln(x2+y2)z = \ln(x^2 + y^2)z=ln(x2+y2)，求 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}∂x∂z 和 ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}∂x∂y∂2z。
七、答案
题目一答案
∂z∂x=3x2y2+2\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y^2 + 2∂x∂z=3x2y2+2
∂z∂y=2x3y−3\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^3 y - 3∂y∂z=2x3y−3
题目二答案
第一步 ：对 xxx 求偏导
∂z∂x=2xx2+y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}∂x∂z=x2+y22x
第二步 ：对 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}∂x∂z 再对 yyy 求偏导
∂2z∂x∂y=−4xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{-4xy}{(x^2 + y^2)^2}∂x∂y∂2z=(x2+y2)2−4xy
学习建议
- 先熟练掌握普通导数法则（幂函数、指数、对数、三角函数）
- 计算偏导数时，先明确"哪个变量在变，其他是常数"
- 混合偏导数要先对一个变量求，再对另一个求，顺序可以交换（如果连续）