【数据结构】图-----关键路径

一、核心前提

1. AOE 网 ：有向无环、带权边，边代表活动，顶点代表事件；源点（起点：入度为 0）、汇点（终点：出度为 0）。
2. 关键路径 ：从源点 → 汇点 的最长路径 ；决定工程最短完成时间 ，路径上活动为关键活动。

---

二、四大必背参数（考试核心）

设：顶点为事件，边为活动

1. vei ：事件 i 的最早发生时间
2. vli ：事件 i 的最晚发生时间
3. e ：活动最早开始时间
4. l ：活动最晚开始时间 l−e=0 → 该活动为关键活动

计算公式

1. 最早发生时间（正向拓扑）源点权

2. 最晚发生时间（逆拓扑）汇点汇点权

3. 活动时间

• 活动 <u,v>：e=veu,l=vlv−w

---

三、算法步骤

1. 对 AOE 网做拓扑排序
2. 按拓扑序正向遍历，求数组 ve
3. 按逆拓扑序反向遍历，求数组 vl
4. 遍历所有边，计算 、
5. l−e=0 的边 → 关键活动，串联即为关键路径

---

四、完整 C 语言代码（邻接表・带详细注释）

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 105
#define INF 0x3f3f3f3f

// 边结点：终点、权值、后继边
typedef struct Edge{
    int to,w;
    struct Edge *next;
}Edge;

Edge* G[MAXN];
int n,m;
int in[MAXN];        // 入度
int topo[MAXN],cnt;  // 拓扑序列
int ve[MAXN],vl[MAXN];

// 加边
void addEdge(int u,int v,int w){
    Edge *p=(Edge*)malloc(sizeof(Edge));
    p->to=v; p->w=w; p->next=G[u];
    G[u]=p;
    in[v]++;
}

// 1.拓扑排序，得到topo数组
void TopSort(){
    int stk[MAXN],top=0;
    cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(in[i]==0) stk[top++]=i;

    while(top>0){
        int u=stk[--top];
        topo[++cnt]=u;
        for(Edge *p=G[u];p;p=p->next){
            int v=p->to;
            in[v]--;
            if(in[v]==0) stk[top++]=v;
        }
    }
}

// 2.求ve：正向拓扑
void getVE(){
    memset(ve,0,sizeof(ve));
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        int u=topo[i];
        for(Edge *p=G[u];p;p=p->next){
            int v=p->to;
            if(ve[v] < ve[u]+p->w)
                ve[v] = ve[u]+p->w;
        }
    }
}

// 3.求vl：逆拓扑
void getVL(){
    for(int i=1;i<=n;i++) vl[i]=ve[topo[cnt]];
    for(int i=cnt;i>=1;i--){
        int u=topo[i];
        for(Edge *p=G[u];p;p=p->next){
            int v=p->to;
            if(vl[u] > vl[v]-p->w)
                vl[u] = vl[v]-p->w;
        }
    }
}

// 4.查找并输出关键活动、关键路径
void KeyPath(){
    printf("=====关键活动=====\n");
    for(int u=1;u<=n;u++){
        for(Edge *p=G[u];p;p=p->next){
            int v=p->to;
            int e = ve[u];
            int l = vl[v] - p->w;
            if(e == l){
                printf("关键活动：%d -> %d  权=%d\n",u,v,p->w);
            }
        }
    }
    printf("工程最短工期：%d\n",ve[topo[cnt]]);
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(G,0,sizeof(G));
    memset(in,0,sizeof(in));

    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addEdge(u,v,w);
    }

    TopSort();
    getVE();
    getVL();
    KeyPath();
    return 0;
}

五、考点必背

1. 关键路径仅存在于 AOE 有向无环图
2. 关键路径 = 源点到汇点最长路径
3. 关键活动：l−e=0
4. 关键活动推迟→整体工期延长 ；非关键活动有时间余量，可适当延迟
5. 拓扑求 ve，逆拓扑求 vl
6. 关键路径可能多条