【PUSCH第三期】5G NR QC-LDPC编码深度解析：从协议校验矩阵构造到MATLAB完整实现

5G NR QC-LDPC编码深度解析：从协议校验矩阵构造到MATLAB完整实现

摘要：本文依据3GPP TS 38.212标准（章节5.2.2与5.3.2），系统解析5G NR中QC-LDPC校验矩阵的构造原理与编码流程。内容涵盖：基矩阵设计、扩展因子与循环移位值计算，并以TBS=192为例完整演示从传输块到编码输出的全过程。最后提供MATLAB平台的两种实现：使用5G Toolbox内置函数，以及完全手动构造校验矩阵并实现编码的不依赖工具箱版本。

1 QC-LDPC的提出背景

5G NR中传输块（TB）的大小多种多样，NR要求编码支持1bit颗粒度的任意信息比特长度匹配，即可对任意长度的信息进行编码。传统LDPC编码需要根据信息块大小设计不同的校验矩阵，需要存储大量不同的校验矩阵，存储开销极大（传统LDPC的校验矩阵一般是固定不改变的）。因此准循环LDPC（QC-LDPC）构造方法被提出，用于构造满足NR需求的校验矩阵H。

QC-LDPC构造核心分为两部分：基矩阵B （框架矩阵，一般本身可保持固定）+ 循环移位值矩阵V，二者元素一一对应，整体通过扩展因子Z完成最终校验矩阵的扩展。

在理解了QC-LDPC的基本思想之后，下面首先介绍其最基础的构造规则，即基矩阵与循环移位值矩阵如何共同生成最终的校验矩阵。

2 QC-LDPC基础构造逻辑

2.1 基矩阵与循环移位矩阵的对应规则

循环移位值矩阵V中每个元素 vijv_{ij}vij 称为循环移位值，取值范围为 {−1,0,1,2,...,Z−1}\{ -1, 0, 1, 2, ..., Z-1 \}{−1,0,1,2,...,Z−1}（Z为扩展因子），每个 vijv_{ij}vij 对应生成一个 Z×ZZ \times ZZ×Z 的子矩阵，生成规则为：以Z阶单位矩阵为基础，根据 vijv_{ij}vij 做对应次数的右循环移位，具体对应关系：

循环移位值 vijv_{ij}vij	最终生成的 Z×ZZ \times ZZ×Z 子矩阵
-1	全零矩阵
0	Z×ZZ \times ZZ×Z 单位矩阵（移位0次）
k (1 ≤ k ≤ Z-1)	Z×ZZ \times ZZ×Z 单位矩阵右移k次得到的循环子矩阵

完整示例（原笔记示例，Z=3）

已知循环移位矩阵为：

V=[−102010] V = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} V=[−100120]

扩展因子 Z=3Z=3Z=3。

按照规则逐元素扩展后，得到完整校验矩阵 H。每个元素替换为 3×33 \times 33×3 子矩阵，然后拼接起来。详细展开如下：

v11=−1→3×3v_{11} = -1 \rightarrow 3 \times 3v11=−1→3×3 全零矩阵：
$000000000\] \\begin{bmatrix} 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 000000000$ $100010001\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} 100010001$ $001100010\] \\begin{bmatrix} 0 \& 0 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 0 \\end{bmatrix} 010001100$
v22=1→v_{22} = 1 \rightarrowv22=1→ 单位矩阵右移1次：
$010001100\] \\begin{bmatrix} 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 001100010$

将这些子矩阵按位置拼接，得到 6 行 9 列的完整校验矩阵 H（用分块竖线分隔）：

H=[000100001000010100000001010100010100010001010001100001] H = \left[\begin{array}{ccc|ccc|ccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] H= 000100000010000001100001010100001010010100001010100001

各分块对应关系（和原笔记完全一致）：

分块位置	循环移位值 vijv_{ij}vij	分块类型
第一行第一块	-1	全零矩阵
第一行第二块	0	单位矩阵
第一行第三块	2	单位矩阵右移2次
第二行第一块	0	单位矩阵
第二行第二块	1	单位矩阵右移1次
第二行第三块	0	单位矩阵

构造核心结论：基矩阵本身码率比较高，通过扩展因子增加行数后，得到低密度的稀疏校验矩阵，这种构造可以灵活支持高码率到低码率的传输块适配，满足NR的TB传输需求，更好地支持IR-HARQ。

上述规则展示了QC-LDPC的通用构造方法。接下来，我们将聚焦于5G NR的具体实现，即NR所采用的基矩阵的内部结构及其与最终校验矩阵分块之间的对应关系。

2.2 NR QC-LDPC 基矩阵的五子矩阵与最终校验矩阵的分块结构

NR 的 QC-LDPC 基矩阵 (BG) 本身由五个子矩阵拼接而成，结构如下：

BG=[ABCDE] \text{BG} = \begin{bmatrix} A & B & C \\ D & E & \end{bmatrix} BG=[ADBEC]

各部分含义：

A：承载系统信息位（信息比特）
B ：方阵，对应校验比特，采用双对角线结构（便于快速编码，降低错误平层）
C：全零矩阵
D 和 E：用于 IR-HARQ 扩展，支持灵活码率降低

当将这个基矩阵用扩展因子 Z 扩展成真正的校验矩阵 H 时，上述结构自然映射为：

H=[HcoreOHextI] H = \begin{bmatrix} H_{\text{core}} & O \\ H_{\text{ext}} & I \end{bmatrix} H=[HcoreHextOI]

其中：

HcoreH_{\text{core}}Hcore 是由 [AB][A \quad B][AB] 部分扩展得到的高码率核心校验矩阵（对应初传的高码率码字）
HextH_{\text{ext}}Hext 是由 D 和 E 部分扩展得到的扩展校验矩阵（用于递增冗余重传）
O 是全零矩阵（由 C 扩展而来）
I 是单位矩阵（由 E 扩展而来，因为 E 本身就是单位阵，扩展后变成多个 Z×ZZ \times ZZ×Z 单位阵组成的对角块）

这种设计的优点：等价于一个高码率 LDPC 码后面串接多个单校验比特 。初传只发送 HcoreH_{\text{core}}Hcore 对应的码字；若接收失败，重传时发送 HextH_{\text{ext}}Hext 中的额外校验比特（即递增加冗余），接收端合并后码率降低，译码成功率提高。这就是 IR-HARQ 的物理基础。

构造校验矩阵还需要的两个关键参数是扩展因子 Z 和循环移位值 PijP_{ij}Pij。下面分别介绍它们的取值集合与计算方法。

3 扩展因子Z与循环移位值计算

3.1 扩展因子Z定义

本部分定义出自3GPP TS 38.212 5.3.2节。一个完整的QC-LDPC码由基矩阵、循环移位值矩阵和扩展因子 Z 共同构成。5G NR定义了8组扩展因子，形式为：Z=a×2jZ = a \times 2^jZ=a×2j，其中 a∈{2,3,5,7,9,11,13,15}a \in \{2,3,5,7,9,11,13,15\}a∈{2,3,5,7,9,11,13,15}，j∈{0,1,2,3,4,5}j \in \{0,1,2,3,4,5\}j∈{0,1,2,3,4,5}。因此Z的取值范围为 2≤Z≤3842 \leq Z \leq 3842≤Z≤384。BG1支持的最大信息位长度为 22×384=844822 \times 384 = 844822×384=8448，BG2支持的最大信息位长度为 10×384=384010 \times 384 = 384010×384=3840。

不同集合索引 iLSi_{LS}iLS 对应不同的Z集合，如下：

3.2 循环移位值 PijP_{ij}Pij 计算

本部分定义出自3GPP TS 38.212 5.3.2节第20页。协议预定义了基准循环移位值 VijV_{ij}Vij，我们最终用的循环移位次数 PijP_{ij}Pij 由下式计算：Pij=Vijmod ZP_{ij} = V_{ij} \mod ZPij=VijmodZ。得到PijP_{ij}Pij后，就可以将单位矩阵右移PijP_{ij}Pij次，得到最终的 Z×ZZ \times ZZ×Z 子矩阵。

计算示例（原笔记示例） ：

若 iLS=3i_{LS} = 3iLS=3，取 Z=7Z = 7Z=7，对应基准值 V00=23V_{00} = 23V00=23，则 P00=23mod 7=6P_{00} = 23 \mod 7 = 6P00=23mod7=6。

扩展后得到的 7×77 \times 77×7 循环移位子矩阵为（单位矩阵右移6次）：