阿波罗尼奥斯在 2000 多年前给出了圆锥曲线的截面定义，帕普斯在几百年后给了圆锥曲线统一的离心率定义，这两者有什么关系呢。
如果说圆锥曲线本来就在那里，那么所有这些定义方式都只是性质的不同侧面，把一个当理所当然，另一个就可以推出来，只是阿波罗尼奥斯关注几何性质，而帕普斯关注定义结构，横看成岭侧成峰罢了。
本文描述一下丹德林内切球下的圆锥曲线，将两种定义关联起来。
以抛物线为例，题图如下所示。MQN 为抛物线，AB∥βAB\parallel\betaAB∥β，球 O 即丹德林内切球，与圆锥相切于切点圆 RJ，与 β\betaβ 相切于 F，切点圆 RJ 截面为 α\alphaα，与 β\betaβ 的交线为 L：
P 为抛物线上任意一点，连接 PF，连接 PA 交圆 RJ 于 H，则 PH = PF.
过 P 作 PI⊥LPI\perp LPI⊥L 于 I，由于 QG⊥MN∥LQG\perp MN\parallel LQG⊥MN∥L，所以 PI∥QG∥ABPI\parallel QG\parallel ABPI∥QG∥AB.
过 J 沿母线 AB 作 JK = PH，由于 P，K 均沿母线与球相切，则 P，K 到 α\alphaα 等距，又因为 JK∥PIJK\parallel PIJK∥PI，所以 JK = PI。
综上，PF = PI，L 为抛物线的准线，F 为焦点，这就是抛物线定义的圆锥解释：
- P 点到准线 L 的距离等于 P 到焦点 F 的距离；
赏析上面的过程，对圆锥曲线和丹德林球的关系就有一个统一的印象，这个精妙的球是连接圆锥立体截面与平面焦点定义的桥梁。
想象你在圆锥内部塞入球，对椭圆是上下各一个，对抛物线是一个，这些球既与圆锥内壁相切，又恰好与那个切割圆锥曲线的平面相切：
- 球与切割平面的切点 F，即圆锥曲线的焦点；
- 球与圆锥切点圆环所在平面与切割平面的交线 L，即圆锥曲线的准线；
设点 P 为圆锥曲线上任意一点，根据切线长定理和几何投影关系，可以证明圆锥曲线的通用特征：
- 点 P 到焦点 F 的距离与点 P 到准线 L 的距离之比，是常数，即离心率 e；
下面以椭圆为例再说明。
上下两个内切球分别切圆锥于切点圆 BE 和切点圆 CF，与椭圆切于 F2 和 F1，P 为椭圆上任意一点，连接 AQ 交切点圆 CF 于 R：
根据切线长定理，PF1=PR，PF2=PQPF_1=PR，PF_2=PQPF1=PR，PF2=PQ，由于两个切点圆平行，所以 QR=BC=EFQR=BC=EFQR=BC=EF.
再根据切线长定理，有 BM=MF2，CM=MF1，EN=NF2，FN=NF1BM=MF_2，CM=MF_1，EN=NF_2，FN=NF_1BM=MF2，CM=MF1，EN=NF2，FN=NF1，将上面的等式全部相加，得 BC=2MF1+F1F2，EF=2NF2+F1F2BC=2MF_1+F_1F_2，EF=2NF_2+F_1F_2BC=2MF1+F1F2，EF=2NF2+F1F2，所以 QR=MFQR=MFQR=MF，这就是椭圆的性质之一：
- 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆长轴；
现在推导离心率，这是道纯立体几何题目，高中习题难度。图没变，扒掉无关的：
过 P 作 PP′⊥BE切点圆PP'\perp BE切点圆PP′⊥BE切点圆，作 P′R⊥LP'R\perp LP′R⊥L，连接 PR，根据切线长定理，有 PF = PQ，注意到 ∠P′PQ\angle P'PQ∠P′PQ 由圆锥顶角决定，固定圆锥为定值，设为 ∠1\angle1∠1，∠P′RP\angle P'RP∠P′RP 由椭圆截面和切点圆平面角度决定，特定椭圆为定值，设为 ∠2\angle2∠2，则有 cos∠1=PP′PQ，sin∠2=PP′PR\cos\angle1=\dfrac{PP'}{PQ}，\sin\angle2=\dfrac{PP'}{PR}cos∠1=PQPP′，sin∠2=PRPP′，所以 e=PFPR=sin∠2cos∠1e=\dfrac{PF}{PR}=\dfrac{\sin\angle2}{cos\angle1}e=PRPF=cos∠1sin∠2，而我们根据阿波罗尼奥斯的定义知道当 ∠1=∠2\angle1=\angle2∠1=∠2 时，截面平行于母线，椭圆开口，成为抛物线，因此对于椭圆，∠1<∠2\angle1<\angle2∠1<∠2，e < 1，这就是椭圆的离心率定义：
- P 为椭圆上任意一点，F 为一焦点，PFd准线=定值<1\dfrac{PF}{d_{准线}}=定值<1d准线PF=定值<1；
回顾并鉴赏，圆锥曲线的截圆定义，离心率定义以及轨迹定义，三者是如此协和，这背后有什么哲理呢。
背后的协和来自射影几何。
在射影几何中，椭圆，抛物线和双曲线本质上是同一个东西，它们都是圆在不同投影平面上的影子：
- 改变截面角度，即改变观察圆的视角，椭圆是斜眼看的圆；
- 抛物线是圆的一端被拉伸到无穷远；
- 双曲线是圆被拉伸穿过无穷远，变成两支；
物理世界再次见证了统一：
- 平方反比定律决定了行星轨道必然是圆锥曲线；
- 光学反射定律决定了光线汇聚于焦点；
无论几何空间还是物理世界，都遵循同一套 2 次方程逻辑，这就是圆锥曲线的轨迹定义，三者在此统一。
丹德林处于 19 世纪，那时数学家已经习惯了解析几何，三维曲面和投影，特别擅长处理切线，所以他能够跳出平面的限制，将三维的圆锥性质投影到二维平面。
利用球作为中介，将切线长定理放到三维空间，结合球体和圆锥的性质，沟通了源自阿波罗尼奥斯的 2000 年。
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