【算法四十二】118. 杨辉三角 198. 打家劫舍

118. 杨辉三角

动态规划：

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class Solution {
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
        //答案里必有[1]
        ans.add(new ArrayList<>(List.of(1)));

        //从第2行开始
        for(int i = 1;i<numRows;i++){
            List<Integer> part = new ArrayList<>();
            //第一个数字必是1
            part.add(1);

            //除第一个和最后一个数字外，每个数字等于上一行下标-1和下标的和
            for(int j = 1;j<i;j++){
                part.add(ans.get(i-1).get(j-1) + ans.get(i-1).get(j));
            }

            //最后一个数字也是1
            part.add(1);
            ans.add(part);
        }

        return ans;
    }
}

时间复杂度：O(N²)，N 是行数

空间复杂度：O(N)，不算返回结果

思路：找到每一行除1外数字和上一行的联系

198. 打家劫舍

动态规划：

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class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        int N = nums.length;

        //存储前k个房子里能偷到的最多的钱
        int[] dp = new int[N+1];

        //定义子问题:子问题是计算前k个房间里能偷的最多的钱
        //子问题的解法: f(k) = max(f(k-1),f(k-2)+nums[k-1])
        //子问题的计算顺序,一般都是自下到上,所以需要0和1
        dp[0] = 0;
        dp[1] = nums[0];

        for(int k = 2;k<=N;k++){
            dp[k] = Math.max(dp[k-1],dp[k-2]+nums[k-1]);
        }

        return dp[N];
    }
}

思路：

这是一道很典型的动态规划题。

动态规划的本质，就是把原问题拆成规模更小的子问题，

并把子问题的答案保存下来，后面需要的时候直接复用，

最终得到原问题的答案。

本题的原问题是：

求前 N 间房子中，最多能偷到多少钱。

那么可以定义子问题为：

求前 k 间房子中，最多能偷到多少钱。

用 dp $k$ 表示前 k 间房子能够偷到的最大金额。

接下来需要找到子问题之间的关系。

对于前 k 间房子来说，最后一间房子有两种选择：

不偷第 k 间房子

如果不偷最后一间房子，那么问题就变成：

前 k - 1 间房子中最多能偷多少钱。

也就是：

dp $k - 1$

偷第 k 间房子

如果偷最后一间房子，由于相邻房子不能同时偷，

所以第 k - 1 间房子不能偷。

此时能偷到的钱就是：

前 k - 2 间房子的最大金额 + 第 k 间房子的钱

也就是：

dp $k - 2$ + nums $k - 1$

注意，这里的 dp $k$ 表示的是前 k 间房子，

而数组 nums 的下标是从 0 开始的，

所以第 k 间房子的钱是 nums $k - 1$ 。

因此状态转移方程为：

dp $k$ = max(dp $k - 1$ , dp $k - 2$ + nums $k - 1$ )

确定状态转移方程之后，再确定计算顺序。

动态规划大多数都是自底向上计算，

也就是先算小规模问题，再一步步推出大规模问题。

所以需要先确定初始状态：

dp $0$ = 0

表示没有房子时，最多能偷 0 元。

dp $1$ = nums $0$

表示只有一间房子时，只能偷这一间。

最后从 k = 2 开始，按照状态转移方程依次计算即可。

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(N)