地球外部局部地形影响积分公式如下图，但是看代码，发现它是使用Tesseroid（球面棱柱体）法进行数值积分求解。
Tesseroid（球面棱柱体） 是球坐标系中的一种质量微元，由经度范围、地心纬度范围和径向范围共同界定。通过将复杂的三维质量模型（例如，大地水准面以上的地形质量）离散化为成千上万个Tesseroid单元，可系统计算这些质量对大范围重力场（如引力位或扰动重力）的积分贡献。
Tesseroid方法的核心优势在于考虑了地球曲率，因此特别适用于从区域到全球尺度的重力场建模。
3. 主流实现方法
由于直接在球坐标系下对Tesseroid进行积分并无闭式解，需要采用近似方法。目前主流的计算策略包括：
3.1 基于数值积分的方法：高斯-勒让德正交（GLQ）与自适应细分
该方法直接对三维Tesseroid的积分进行数值求解。为确保积分精度，特别是当计算点与单个Tesseroid距离很近时，算法会采用自适应细分技术-。当Tesseroid宽高比值或"距离-尺寸比"低于某个预设阈值时，程序会将其递归细分或二维剖分成更小的单元，直到伽利略积分的近似误差满足要求-6-11。GLQ方法在精度上通常优于其他方法，但计算成本也相应较高。
3.2 基于级数展开的方法：泰勒级数展开（TSE）
该方法将积分核展开为泰勒级数进行逐项积分，以提高计算速度-。实践中，将积分核展开到二阶项 通常在速度和精度的权衡上表现最佳。-
3.3 方法的比较与选择
-
GLQ与TSE混合方法 ：一种常见的折衷策略。在近区使用高精度的GLQ方法，在远区使用高效的泰勒级数展开（TSE）方法来计算，以平衡计算效率和精度-18。
-
泰勒加速版本：通过在水平方向上利用平移/交换对称性对泰勒展开式进行优化，能大幅提升计算速度（可达7~30倍）-。
-
GLQ与NCQ：牛顿-科特斯正交通常用于积分点数较少或需要快速估算的场景。
4. 地球科学中的应用场景
Tesseroid方法因其在处理地球曲率方面的优势，已被广泛应用于多个地球科学领域：
-
高阶模拟需求 ：欧洲GOCE卫星任务获取的高精度重力梯度数据，要求区域和全球尺度"地形质量引力效应"的模拟精度提升至前所未有的水平-19。Tesseroid方法能提供符合这一苛刻精度要求的模拟。
-
支撑重大科学计划 ：Tesseroid正演方法已被用于支撑我国"深部资源探测"等重大研究计划中的反演任务-33。
-
解释地质结构：在中国的准噶尔盆地和东南亚地区，Tesseroid方法已成功应用于地壳和地幔密度成像的解释-。
-
计算大气效应：该方法也被用于计算大气质量的引力效应。
-
支撑地震研究：该方法在矿山地震（Induced Seismicity）研究区域，被用于更精确地计算由水文变化或生产活动引起的应力变化分析。
-
高程改正与重力归算 ：在物理大地测量中，Tesseroid方法被广泛用于计算布格改正（Bougouer correction） 、RTM（残余地形模型）改正以及其他高程归算项，尤其适用于地形复杂多变的区域。
5. 主流实现方法
以下系统是当前学术界科研与生产中推荐的工具与流程：
| 工具/平台 | 类型/语言 | 核心特点与适用场景 |
|---|---|---|
| Tesseroids (Uieda et al., 2016) | C语言，命令行 | 开源旗舰软件，实现GLQ、自适应细分、并行计算 -10。 |
| Harmonica (Fatiando a Terra) | Python | Python生态首选，继承Tesseroids核心算法（GLQ + 自适应细分）并提供简洁API-29。 |
| tesslayers 脚本 | 脚本 | 快速构建多层地质模型，适用于沉积盆地建模-27。 |
| OpenMP并行化 | 工具 | 适用于大规模或高精度任务，需在编译或运行时启用并行支持-33。 |
以上简单的介绍，具体到局部地形影响的计算，代码如下：
下面是推导过程。
1、引力位核P 的解析表达式推导
P1、P2是同一个核函数在不同径向距离上的取值
2、径向引力核 K 的推导
3、扰动重力梯度G的推导
4、垂线偏差核V的推导
5、反双曲正切函数
至此，程序代码所涉及的算法全部对应了。
最后一个问题，代码方法与高斯-勒让德正交、泰勒级数展开关系？
