csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【哈夫曼贪心】：合并果子

题目描述

在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过 n − 1 n-1 n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为 1 1 1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 3 3 3 种果子，数目依次为 1 1 1， 2 2 2， 9 9 9。可以先将 1 1 1、 2 2 2 堆合并，新堆数目为 3 3 3，耗费体力为 3 3 3 。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 12 12 12，耗费体力为 12 12 12。所以多多总共耗费体力 = 3 + 12 = 15 =3+12=15 =3+12=15。可以证明 15 15 15 为最小的体力耗费值。

输入格式

共两行。

第一行是一个整数 n ( 1 ≤ n ≤ 10 4 ) n(1\leq n\leq 10^4) n(1≤n≤104)，表示果子的种类数。

第二行包含 n n n 个整数，用空格分隔，第 i i i 个整数 a i ( 1 ≤ a i ≤ 2 × 10 4 ) a_i(1\leq a_i\leq 2\times 10^4) ai(1≤ai≤2×104) 是第 i i i 种果子的数目。

输出格式

一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于 2 31 2^{31} 231。

输入输出样例 #1

输入 #1

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3 
1 2 9

输出 #1

复制代码

说明/提示

对于 30 % 30\% 30% 的数据，保证有 n ≤ 10 3 n \le 10^3 n≤103；

对于 50 % 50\% 50% 的数据，保证有 n ≤ 5 × 10 3 n \le 5\times10^3 n≤5×103；

对于全部的数据，保证有 n ≤ 10 4 n \le 10^4 n≤104。

思路分析

这道题要求将若干堆果子合并成一堆，每次合并两堆，消耗的体力等于两堆重量之和，目标是最小化总消耗。这是典型的哈夫曼树问题，最优策略是每次选择当前最小的两堆进行合并。使用小根堆（优先队列）可以高效实现：将所有果子数插入小根堆，循环取出最小的两个，合并后放回堆中，累加消耗，直到堆中只剩一堆。时间复杂度 O(n log n)，空间复杂度 O(n)。

代码实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n; // 果子种类数
    cin >> n;
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> pq; // 小根堆
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int a; // 每种果子的数目
        cin >> a;
        pq.push(a);
    }
    long long ans = 0; // 最小体力耗费值
    while (pq.size() > 1) { // 直到只剩一堆
        int x = pq.top(); pq.pop(); // 取最小堆
        int y = pq.top(); pq.pop(); // 取次小堆
        int s = x + y; // 合并后的新堆大小
        ans += s; // 累加消耗
        pq.push(s); // 新堆入堆
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

功能分析

输入处理 ：读取果子种类数 n 和每种的数目，依次插入小根堆。
合并过程：每次从堆顶取出最小的两堆（堆自动维护最小堆性质），合并后得到的新堆大小等于两者之和，累加到答案，并将新堆放回堆中。
循环终止：当堆中只剩一堆时结束，此时答案即为最小体力耗费值。
正确性：哈夫曼算法贪心性质保证每次合并最小的两堆能得到全局最优解，优先队列模拟了该过程。
边界情况 ：若 n=1，不进入循环，直接输出 0（无需合并，体力消耗为0），符合题目要求。

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"##########  一站式掌握信奥赛知识!  ##########";
	cout<<"#############  冲刺信奥赛拿奖!  #############";
	cout<<"######  课程购买后永久学习，不受限制!   ######";
	return 0;
}

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
	cout<<"    成就更好的自己！       ";
	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}