机器学习 单变量线性回归模型

背景与数据

这个实验用房屋面积预测房价，数据只有两个样本：

面积（1000 平方英尺）	价格（千美元）
1.0	300
2.0	500

• 面积是特征 x ，价格是目标 y
• 我们要拟合一条直线 fw,b(x)=wx+b 来预测房价

1. 数据准备

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 加载数据
x_train = np.array([1.0, 2.0])  # 面积，单位：1000平方英尺
y_train = np.array([300.0, 500.0])  # 价格，单位：千美元

# 样本数量
m = x_train.shape[0]  # 输出：2

2. 定义模型函数

def compute_model_output(x, w, b):
    m = x.shape[0]
    f_wb = np.zeros(m)
    for i in range(m):
        f_wb[i] = w * x[i] + b
    return f_wb

3. 初始模型（w=100, b=100）

用初始参数计算预测值：

• 对 x(0)=1.0：fwb(1.0)=100∗1.0+100=200（真实值 300）
• 对 x(1)=2.0：fwb(2.0)=100∗2.0+100=300（真实值 500）可以看到这条线完全偏离了数据点。

找到正确的 w 和 b

我们可以直接用两个点解出完美拟合的参数：把两个点代入 y=wx+b：

1. 300=w∗1.0+b
2. 500=w∗2.0+b

用第二个方程减第一个方程：500−300=(2w+b)−(w+b)200=w

把 w=200 代入第一个方程：300=200∗1.0+b→b=100

正确参数是 w=200，b=100，这和提示里给的建议一致。

验证一下：

• x=1.0: 200∗1+100=300
• x=2.0: 200∗2+100=500

效果：

1. 单变量线性回归模型：fw,b(x)=wx+b，本质是用直线拟合数据。
2. 训练数据 ：这里的 x_train、y_train 是模型学习的基础，我们通过调整参数让直线尽可能贴近这些点。
3. 参数含义 ：
   • w：斜率，代表每增加 1 单位面积（1000 平方英尺），房价增加多少千美元（这里是 200 千美元，即 20 万美元）。
   • b：截距，代表面积为 0 时的理论房价（这里是 100 千美元，即 10 万美元）。