n个六面的骰子，扔一次之后和为k的概率是多少？

题目要求：n个六面的骰子，扔一次之后和为k的概率是多少？给定骰子数量n和骰子的点数之和k，求概率res。

思路：动态规划dp。

问题分析：每个骰子的点数都是1~6，因此n个骰子的总点数和的范围是n,6n，需要计算点数之和恰好等于k的方案数。

1.确定dp数组及其下标的含义：dpij表示使用i个骰子，总点数和为j的方案数。

2.确定递推公式：可知i个骰子的情况可以由i - 1个骰子的情况推出。

（1）因此dpij = dpi - 1j - 6 + dpi - 1\[j - 5 + dpi - 1j - 4 + dpi - 1j - 3 + dpi - 1j - 2 + dpi - 1j - 1。

（2）即：dpij = dpi - 1j - v for v = 1 to 6 。

3.dp数组如何初始化：dp00 = 1，表示使用0个骰子，总点数和为0的方案数为1。在这里没有实际意义，只用作dp数组的初始化。

4.确定遍历顺序：本题相当于分组背包问题。有n个组（每组对应一个骰子），每组有6个物品（点数1~6），每组必须且只能选1个物品，求恰好凑成总重量k的方案数。因此在使用二维数组时，组内物品的遍历顺序无所谓。

附代码：

class Solution {
    public String probabilityOfSum(int n, int k) {
        // 如果 k 不在可能范围内，概率为 0
        if (k < n || k > 6 * n) {
            return "0";
        }

        // dp[i][s]：i 个骰子，点数和为 j 的方案数
        long[][] dp = new long[n + 1][6 * n + 1];
        dp[0][0] = 1;

        // i个骰子
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // j表示i的骰子可能的点数和，范围为[i,6 * i]
            for (int j = i; j <= 6 * i; j++) {
                // v表示第i个骰子可选点数，范围为[1,6]
                for (int v = 1; v <= 6; v++) {
                    // j - v要大于等于0，因为第i个骰子的可选的点数一定不能超过点数和，否则需要排除
                    if (j - v >= 0) {
                        // 因为v会从1-6中取值，所以要把这6种可能累加
                        dp[i][j] += dp[i - 1][j - v];
                    }
                }
            }
        }

        // 总方案数 = 6^n
        long total = (long) Math.pow(6, n);
        // 可选方案数 = dp[n][k]
        long ways = dp[n][k];

        // 约分
        long g = gcd(ways, total);
        ways /= g;
        total /= g;

        return ways + "/" + total;
    }

    // 递归求最大公约数（欧几里得算法，即辗转相除法）
    private long gcd(long a, long b) {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }
}

ACM模式：

import java.util.Scanner;

class Solution {
    public String probabilityOfSum(int n, int k) {
        // 如果 k 不在可能范围内，概率为 0
        if (k < n || k > 6 * n) {
            return "0";
        }

        // dp[i][s]：i 个骰子，点数和为 j 的方案数
        long[][] dp = new long[n + 1][6 * n + 1];
        dp[0][0] = 1;

        // i个骰子
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // j表示i的骰子可能的点数和，范围为[i,6 * i]
            for (int j = i; j <= 6 * i; j++) {
                // v表示第i个骰子可选点数，范围为[1,6]
                for (int v = 1; v <= 6; v++) {
                    // j - v要大于等于0，因为第i个骰子的可选的点数一定不能超过点数和，否则需要排除
                    if (j - v >= 0) {
                        // 因为v会从1-6中取值，所以要把这6种可能累加
                        dp[i][j] += dp[i - 1][j - v];
                    }
                }
            }
        }

        // 总方案数 = 6^n
        long total = (long) Math.pow(6, n);
        // 可选方案数 = dp[n][k]
        long ways = dp[n][k];

        // 约分
        long g = gcd(ways, total);
        ways /= g;
        total /= g;

        return ways + "/" + total;
    }

    // 递归求最大公约数（欧几里得算法，即辗转相除法）
    private long gcd(long a, long b) {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }
}

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        // 读取骰子个数 n 和目标和 k
        int n = scanner.nextInt();
        int k = scanner.nextInt();

        // 计算结果
        Solution solution = new Solution();
        String result = solution.probabilityOfSum(n, k);
        System.out.println(result);

        scanner.close();
    }
}