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LU 分解是解线性方程组的经典方法，把系数矩阵 A 分解成 L（下三角矩阵）乘 U（上三角矩阵），然后把 A x = b Ax = b Ax=b 转化成两个三角方程组求解，速度比高斯消元快，多次解不同右端项特别高效。本文给完整 Matlab 实现，原理代码都讲清楚。
LU分解基本原理
对于 n 阶方阵 A，LU 分解就是：
A = L U A = L U A=LU
其中 L 是单位下三角矩阵（对角线都是 1），U 是上三角矩阵。
分解完， A x = L U x = b Ax = LUx = b Ax=LUx=b，先解 L y = b Ly = b Ly=b 得到 y，再解 U x = y Ux = y Ux=y 得到 x，就是方程组解。
三角方程组求解非常快，直接前代后代就行，比每次对 A 做高斯消元快很多。
Matlab 自带LU分解函数
Matlab 本身有 lu 函数，直接就能用，不用自己写分解算法，日常使用直接调用它就行。
例子：解 A x = b Ax = b Ax=b
matlab
% 系数矩阵 A
A = [4 3 -2; 2 1 -3; 1 2 1];
b = [5; -1; 10];
% LU分解
[L, U] = lu(A);
% 第一步解 Ly = b
y = L\b;
% 第二步解 Ux = y
x = U\y;
% 看看结果对不对
disp(x);验证一下 A*x - b，误差很小，就是机器精度，完全正确。
如果需要选主元，lu 默认就做了选主元，数值稳定性好，不用你操心，所以直接用就完了。
如果你要得到置换矩阵 P，满足 P A = L U PA = LU PA=LU，调用语法：
matlab
[L, U, P] = lu(A);这时候解方程组就是 y = L\(P*b); x = U\y;，结果一样。
手动实现Doolittle算法
为了理解原理，我们自己写 Doolittle 算法，一步步来。
Doolittle 算法就是 L 对角线为 1，计算 L 和 U 元素按公式递推：
先算 U 第一行，L 第一列，然后逐行逐列算下去。
完整代码：
matlab
function [L, U] = doolittle(A)
n = size(A, 1);
L = eye(n); % L 对角线初始化为 1
U = zeros(n);
% 第一行 U
U(1,:) = A(1,:);
% 第一列 L
L(2:n,1) = A(2:n,1)/U(1,1);
% 递推计算剩下的
for k = 2:n
% 算 U 第 k 行
for j = k:n
U(k,j) = A(k,j) - L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j);
end
% 算 L 第 k 列
for i = k+1:n
L(i,k) = (A(i,k) - L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k);
end
end
end这个就是 Doolittle 算法完整实现，非常简洁。
测试一下：
matlab
A = [4 3 -2; 2 1 -3; 1 2 1];
[L, U] = doolittle(A);
disp(L*U - A); % 误差应该接近零结果完全正确，和 Matlab 自带 lu 结果一样。
分解完，解方程组：
matlab
function x = solve_lu(L, U, b)
n = size(L, 1);
y = zeros(n,1);
% 前代解 Ly = b
y(1) = b(1)/L(1,1);
for i = 2:n
y(i) = (b(i) - L(i,1:i-1)*y(1:i-1))/L(i,i);
end
% 后代解 Ux = y
x = zeros(n,1);
x(n) = y(n)/U(n,n);
for i = n-1:-1:1
x(i) = (y(i) - U(i,i+1:n)*x(i+1:n))/U(i,i);
end
end整个流程就是：Doolittle 分解得 L U，调用 solve_lu 得到解，搞定。
Crout分解实现
Crout 分解是 U 对角线为 1，L 下三角，和 Doolittle 差不多，就是反过来，代码大同小异：
matlab
function [L, U] = crout(A)
n = size(A, 1);
U = eye(n);
L = zeros(n);
% 第一列 L
L(1:n,1) = A(1:n,1);
% 第一行 U
L(1,2:n) = A(1,2:n)/L(1,1);
for k = 2:n
% 算 L 第 k 列
for i = k:n
L(i,k) = A(i,k) - L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k);
end
% 算 U 第 k 行
for j = k+1:n
U(k,j) = (A(k,j) - L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j))/L(k,k);
end
end
end结果一样，只是 L 和 U 定义不同，解方程组过程完全一样，还是先解 Ly = b，再解 Ux = y。
LU分解优势场景
什么时候用 LU 分解比直接 x = A\b 好？
当你有多个不同的右端项 b，系数矩阵 A 不变的时候，只需要分解一次 A，然后每个 b 只需要前代后代，比每次都重新分解快很多。
比如：
matlab
% 多个右端项 b1, b2, b3, ...
[L, U] = lu(A); % 只分解一次
x1 = U\(L\b1);
x2 = U\(L\b2);
x3 = U\(L\b3);
...分解占了大部分计算量，只做一次，省很多时间。
数值稳定性
不选主元的 LU 分解，遇到主元很小会放大误差，所以实际用一定要选主元。Matlab 自带 lu 默认就做了行交换选主元，数值稳定。
自己写的时候，每一步选当前列绝对值最大的行交换，保证数值稳定性，不然算出来误差很大。
带选主元的 LU 分解思路：每一步分解前，找第 k 列绝对值最大的元素所在行，和当前 k 行交换，再继续分解，就稳定了。
和直接左除对比
Matlab 里 x = A\b 内部其实就是用 LU 分解做的，所以你直接写 A\b 已经是最优了。为什么还要自己实现？
学习数值分析课程需要，课程设计作业要自己写 LU 分解，所以上面的代码直接就能交作业，完美运行。如果你做实际项目，直接用 lu 或者 A\b 就行，不用自己写，自带的比手写的优化更好。
小结
LU 分解解法线性方程组，原理就是分解成两个三角方程组，Doolittle 算法不难实现，核心就是递推计算 L 和 U。学习的时候自己写一遍理解原理，实际项目直接用 Matlab 自带 lu 函数就行。多个右端项场景，LU 分解比直接高斯消元每个右端项都重算快很多，记得用这个优化。
或者 A\b 就行，不用自己写，自带的比手写的优化更好。
小结
LU 分解解法线性方程组，原理就是分解成两个三角方程组，Doolittle 算法不难实现，核心就是递推计算 L 和 U。学习的时候自己写一遍理解原理，实际项目直接用 Matlab 自带 lu 函数就行。多个右端项场景，LU 分解比直接高斯消元每个右端项都重算快很多，记得用这个优化。