数据结构1

广义表

二叉树的基本特性

旋转二叉树

构造霍夫曼树（最优）

步骤：

1. 初始化 ：
   • 给定一组权值（通常是字符的频率），每个权值视为一个叶子节点。
   • 将所有权值按照大小顺序放入一个最小堆（或优先队列），确保可以每次取出最小的权值。
2. 构造过程 ：
   • 循环构建 ：重复以下过程，直到堆中只剩下一个节点：
     1. 从堆中取出两个最小的节点（这两个节点具有最小的权值）。
     2. 创建一个新的节点，其权值是这两个节点的权值之和。这个新节点成为父节点，连接两个最小节点（作为它的左右子节点）。
     3. 将新节点插回堆中。
3. 终止 ：
   • 当堆中只剩一个节点时，说明霍夫曼树已经构造完毕。这个节点就是树的根节点。
     

线索二叉树

平衡二叉树

图

邻接矩阵

邻接表

图的遍历

拓扑排序

最小生成树

普利姆算法

普利姆算法 （Prim's Algorithm）是求解最小生成树（MST, Minimum Spanning Tree）的一种贪心算法。最小生成树是图中包含所有顶点且边权和最小的生成树。普利姆算法通过逐步扩展生成树来构造最小生成树，每次选择一条最小的边，连接树中的顶点与图中未连接的顶点。

普利姆算法的步骤：

1. 初始化 ：
   • 从图中任选一个顶点作为起始点（称为生成树的初始顶点）。
   • 设定一个标记集合，用来标记已加入生成树的顶点。
   • 初始化一个数组（或优先队列），用于记录从已加入生成树的顶点到其他顶点的最短边（权值最小的边）。
2. 构建过程 ：
   • 重复以下步骤直到所有顶点都加入生成树：
     1. 从标记集合外的顶点中，选择一条权值最小的边，将该边对应的顶点加入生成树。
     2. 更新与新加入顶点相连的边的权值，确保下次选择时会选取最小的边。
3. 终止 ：
   • 当所有顶点都被加入生成树时，算法终止。

示例：普利姆算法

假设有如下带权图：

A

/ \

2 3

/ \

B-------C

1

图的邻接矩阵表示如下：

A B C

A 0 2 3

B 2 0 1

C 3 1 0

步骤1：初始化

• 选择顶点 A 作为起始顶点，生成树包含顶点 A。
• 初始化一个数组记录从顶点 A 出发到其他顶点的最小边，边的权值为：
  • A -> B 权值为 2
  • A -> C 权值为 3

步骤2：构建生成树

1. 从 A 开始，选择权值最小的边 A -> B，将顶点 B 加入生成树，生成树现在包含顶点 A 和 B。

   更新边权：

   • 从 B 出发的边为 B -> C，权值为 1。

   此时最小边为 B -> C。

2. 选择边 B -> C，将顶点 C 加入生成树，生成树现在包含顶点 A、B 和 C。

   此时所有顶点都已被加入生成树，算法结束。

步骤3：结果

最终的最小生成树边为：

• A -> B 权值 2
• B -> C 权值 1

最小生成树的总权值为 2 + 1 = 3。

总结：

普利姆算法通过贪心策略逐步扩展生成树，每次选择当前生成树与未加入顶点之间的最小边。其时间复杂度通常为 O(E log V)，其中 E 为图中的边数，V 为顶点数。对于稠密图（边数较多），普利姆算法比克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）更有效。

克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法 （Kruskal's Algorithm）是解决最小生成树（MST, Minimum Spanning Tree）问题的另一种经典贪心算法。它的核心思想是将图中的所有边按权重排序，然后逐步选择权重最小的边，确保不会形成环，最终形成一棵最小生成树。

克鲁斯卡尔算法的步骤：

1. 初始化 ：
   • 将图中的所有边按照权值升序排列。
   • 初始化每个顶点所在的集合（可以用并查集（Union-Find）来管理）。
   • 生成一个空的最小生成树。
2. 构建过程 ：
   • 遍历所有边，选择权值最小的边，判断它的两个端点是否属于同一个集合：
     1. 如果它们属于不同的集合，将这条边加入最小生成树，并合并这两个集合。
     2. 如果它们已经在同一个集合中，说明加入这条边会形成环，跳过这条边。
3. 终止 ：
   • 当最小生成树包含 V-1 条边（V 是图中的顶点数）时，算法结束。

示例：克鲁斯卡尔算法

假设有如下带权图：

A

/ \

2 3

/ \

B-------C

1

图的邻接矩阵表示如下：

A B C

A 0 2 3

B 2 0 1

C 3 1 0

步骤1：初始化

• 将所有边按权值升序排列：
  • B -> C 权值 1
  • A -> B 权值 2
  • A -> C 权值 3

步骤2：构建生成树

1. 选择边 B -> C（权值 1） ：
   • B 和 C 还不在同一个集合中，加入生成树，合并集合。
2. 选择边 A -> B（权值 2） ：
   • A 和 B 也不在同一个集合中，加入生成树，合并集合。
3. 选择边 A -> C（权值 3） ：
   • A 和 C 已经在同一个集合中，加入这条边会形成环，所以跳过。

步骤3：结果

最小生成树的边为：

• B -> C 权值 1
• A -> B 权值 2

最小生成树的总权值为 1 + 2 = 3。

并查集（Union-Find）

克鲁斯卡尔算法依赖于并查集（Union-Find）来有效地管理和合并不同的集合。并查集是一种用于处理集合合并和查询问题的数据结构，支持两个主要操作：

• Find：查找元素所在的集合。
• Union：合并两个集合。

并查集的优化：

• 路径压缩：在查找操作中，将查询路径上的所有节点直接连接到根节点，降低树的高度，从而加速后续的查询操作。
• 按秩合并：在合并两个集合时，总是将较小的树合并到较大的树上，避免树的高度过大。

总结：

克鲁斯卡尔算法通过贪心策略，从图中选择权值最小的边并确保不形成环，直到构建出最小生成树。它的时间复杂度是 O(E log E)，其中 E 是图中的边数。对于稀疏图（边数较少），克鲁斯卡尔算法通常比普利姆算法更加高效。