一、题目描述
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5。
示例 1:
输入: x = 4
输出: 2示例 2:
输入: x = 8
输出: 2
解释: 8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。二、解题思路
- 题目限制不能使用内置指数/开方函数，因此采用二分查找 实现，时间复杂度
O(log n)，符合高效要求。 - 核心目标：找到不超过
√x的最大整数； - 关键处理：用
mid <= x/mid代替mid*mid <=x防止int溢出，同时单独处理x=0/x=1的边界情况避免除0异常；二分结束后返回right，即为所求的整数平方根。
三、代码实现（Java）
class Solution {
public int mySqrt(int x) {
// 特殊情况处理：x=0和x=1时，算术平方根就是其本身，同时避免后续除法除0异常
if(x == 0 || x == 1){
return x;
}
// 调用自定义二分实现的sqrt函数，计算x的算术平方根整数部分
return sqrt(x);
}
/**
* 用二分查找计算x的算术平方根，返回不超过√x的最大整数
* @param x 待计算平方根的非负整数（x≥2）
* @return 不超过√x的最大整数
*/
public int sqrt(int x){
// 二分查找区间[1, x]，初始左右边界
int left = 1;
int right = x;
int mid = 0;
while(left <= right){
// 计算中间值，避免直接left+right相加导致int溢出
mid = left + (right - left)/2;
// 用mid <= x/mid代替mid*mid <=x，防止mid*mid超出int范围导致溢出
if(mid <= x / mid){
// mid的平方小于等于x，目标值在右半区间，更新左边界
left = mid + 1;
}else{
// mid的平方大于x，目标值在左半区间，更新右边界
right = mid - 1;
}
}
// 循环结束时right即为不超过√x的最大整数
return right;
}
}四、核心笔记 & 易错点解析
1. 整数溢出问题（关键处理）
直接用mid*mid <=x判断时，当mid较大，mid*mid可能超出int的最大值（2147483647），导致溢出变为负数，影响判断结果。
解决方案：用mid <= x/mid等价代替，避免乘法溢出；同时必须单独处理x=0和x=1的情况，否则会出现除0异常。也可以将mid转为long类型后再做乘法判断，同样能避免溢出。
2. 二分循环结束的边界特性
由于循环条件为left <= right，当循环结束时，必然满足right < left，且right + 1 == left。
此时right是最后一个满足mid <= x/mid的数，也就是不超过√x的最大整数，因此直接返回right即可。
3. 条件判断与返回值的对应关系
不管left == right与大于的情况放在一起还是与小于的情况放在一起，也就是无论条件写mid <= x/mid还是mid >= x/mid，最终都需要返回right，因为题目要求保留整数部分，取不超过√x的最大值：
- 当条件为
mid <= x/mid时，left会不断右移，循环结束时right是满足条件的最大值； - 当条件为
mid >= x/mid时，right会不断左移，循环结束时right同样是不超过√x的最大值。
五、复杂度分析
- 时间复杂度 ：
O(log n)，二分查找每次将区间缩小一半，最多循环log₂(x)次，符合题目对高效算法的要求。 - 空间复杂度 ：
O(1)，仅使用常数级别的额外变量，无额外空间开销。
六、总结
本题核心是用二分查找实现无内置函数的开方运算，关键在于处理int溢出问题和理解二分循环结束的边界特性；掌握mid <= x/mid的溢出处理方式、循环结束时right的含义，以及条件判断与返回值的对应关系，就能轻松解决这类整数平方根问题。