C++ | AVLTree - 技术栈

🦌云深麋鹿
专栏：C++ | 用C语言学数据结构 | Java

回顾：上一篇我们结束了 map&set的使用，接下来这篇文章让我们进入到 AVLTree 的学习，体会新的设计思路吧~

放个目录

- - [一 AVL树的概念](#一 AVL树的概念)
  - [二实现](#二实现)
  - - [2.1 AVLTreeNode](#2.1 AVLTreeNode)
    - [2.2 AVLTree](#2.2 AVLTree)
    - [2.3 Insert](#2.3 Insert)
    - - [2.3.1 插入流程](#2.3.1 插入流程)
      - （1）新增结点
        
        （2）更新平衡因子
        
        （3）旋转
      - [2.3.2 平衡因子更新](#2.3.2 平衡因子更新)
      - （1）更新原则
        
        （2）停止更新条件
        
        （3）代码实现
      - [2.3.3 旋转](#2.3.3 旋转)
      - （1）旋转原则
        
        （2）右单旋
        
        [（3）左单旋](#（3）左单旋)
        
        （4）左右双旋
        
        （5）右左双旋
    - [2.4 AVL树的平衡检测](#2.4 AVL树的平衡检测)
    - [2.5 AVL树的查找](#2.5 AVL树的查找)

一 AVL树的概念

AVL树是一棵高度平衡二叉查找树，左右子树高度差的绝对值不超过1。
每个结点有一个平衡因子（balance factor），这不是必须的。
有些情况下，高度差不为0。

二实现

2.1 AVLTreeNode

cpp 复制代码

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
    int _bf; // balance factor

    AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
        :_kv(kv)
        , _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
        , _parent(nullptr)
        , _bf(0)
    {}
};

这里的Node存储的是一个pair（键值对），应用场景更广一些。
需要额外记录每个Node的_parent，后面要用到。
实现的是带平衡因子（后面都简称bf）的AVL树。

2.2 AVLTree

cpp 复制代码

template<class K, class V>
class AVLTree
{
    typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:

private:
	Node* _root = nullptr;
};

搭个框架。

2.3 Insert

2.3.1 插入流程

（1）新增结点

按二叉搜索树规则来。
具体在这篇博客 C++ | 二叉搜索树第三大块。
代码：

cpp 复制代码

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{ 
    if(_root == nullptr){
		_root = new Node(kv);
		return true;
    }
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
    while (cur) {
		if (cur->_kv.first < kv.first) {
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first) {
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else {
			return false;
		}
    }
	cur = new Node(kv);
    if (parent->_kv.first > kv.first) {
        parent->_left = cur;
    }
    else {
        parent->_right = cur;
    }
    cur->_parent = parent;
    // ...
}

（2）更新平衡因子

新增结点，更新新增节点 - 根节点路径上的bf。
具体后面展开讲。

（3）旋转

更新bf的过程中出现不平衡（左右子树高度差的绝对值超过1），需要旋转不平衡子树。
平衡后就不用继续往上更新bf了，完毕。

2.3.2 平衡因子更新

（1）更新原则

平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度
子树高度变化影响当前结点平衡因子。
插入结点parent更新（新结点在左--，在右++）
若parent的bf不为零则往上更新。

（2）停止更新条件

更新后parent的bf为零，表示parent所在子树高度不变。则parent的parent结点的bf不会受到影响，更新结束。
更新后parent的bf为 1 或 -1，表示parent所在子树原先平衡，更新后高度改变。则parent的parent结点的bf也会受到影响，往上继续更新。
更新后parent的bf为 2 或 -2，表示parent所在子树已经不平衡了，需要旋转处理。
不断更新到root，bf为 1 或 -1 停止。

（3）代码实现

先套一个框架：新增节点的 parent 存在时，进入循环体。

cpp 复制代码

 while (parent) {
     //... 
 }

更新 parent 的 bf：

cpp 复制代码

if (parent->_kv.first > kv.first) {
    parent->_bf--;
}
else {
    parent->_bf++;
}

判断 parent 的 bf 是否为零：

cpp 复制代码

if (parent->_bf == 0) {
    break;
}else if (abs(parent->_bf) == 1) { 
    // continue
    cur = parent;
    parent = parent->_parent;
}else if (abs(parent->_bf) == 2) { 
    // rotate
    break;
}else {
    // error
    exit(-1);
}

接下来进入rotate（上面第二个else if）。

2.3.3 旋转

旋转共有四种：左旋转、右旋转、左右双旋和右左双旋。

（1）旋转原则

旋转后保持搜索树的特性。
让旋转的树从不平衡变平衡，其次降低旋转树的高度。

（2）右单旋

左子树太高了。

即如图中a子树新增一个结点高h+1，太高了。

①过程

subL的右子树（subLR）变为parent结点的左子树，subL结点到parent结点的位置上。

parent上面还有parentParent，后面会用到。

最终实现结果：

②代码实现

框架：

cpp 复制代码

void RotateR(Node* parent){
    //...
}

注意修改结点位置也要修改它的_parent。

记录各个结点（根据传参parent）

cpp 复制代码

Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* parentParent = parent->_parent;

处理parent和subLR

cpp 复制代码

parent->_left = subLR;
if (subLR) {
    subLR->_parent = parent;
}

存在subLR为nullptr的情况。

处理subL和parent

cpp 复制代码

subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;

处理parentParent和subL

cpp 复制代码

if (parentParent) {
    if (parentParent->_left == parent) {
        parentParent->_left = subL;
    }
    else {
        parentParent->_right = subL;
    }
	subL->_parent = parentParent;
}else {
	_root = subL;
    _root->_parent = nullptr;
}

涉及parentParent存在不存在的问题。
若存在，涉及parentParent存在于哪个分支的问题。

记得更新bf

cpp 复制代码

parent->_bf = subL->_bf = 0;

（3）左单旋

右子树太高了。

即如图中a子树新增一个结点后高h+1：

①过程

subR的左子树（subRL）变为parent结点的右子树，subR结点到parent结点的位置上。

最终实现结果：

②代码实现

跟右单旋代码类似：

cpp 复制代码

void RotateL(Node* parent) {
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL= subR->_left;
	Node* parentParent = parent->_parent;

	parent->_right = subRL;
    if (subRL) {
        subRL->_parent = parent;
    }

	subR->_left = parent;
    parent->_parent = subR;

    if (parentParent) {
		if (parentParent->_left == parent) {
			parentParent->_left = subR;
		}
		else {
			parentParent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = parentParent;
    }else {
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
    }
	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

（4）左右双旋

左子树高了，左子树的右子树高了。

即图中 e子树新增结点后高h。
subL 总高h+2，跟c子树高度差超过1了。

①过程
subL左单旋 >> parent右单旋。
实现结果：

②代码实现
框架:

cpp 复制代码

void RotateRL(Node* parent) {
    //...
}

记录各个结点

cpp 复制代码

Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* parentParent = parent->_parent;

额外记录一下bf：

cpp 复制代码

int bf = subLR->_bf;

旋转

cpp 复制代码

RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);

这个直接复用写过的代码。

重点：更新bf

cpp 复制代码

if (bf == 0){
	subL->_bf = 0;
	subLR->_bf = 0;
	parent->_bf = 0;
}else if (bf == -1){
	subL->_bf = 0;
	subLR->_bf = 0;
	parent->_bf = 1;
} else if (bf == 1){
	subL->_bf = -1;
	subLR->_bf = 0;
	parent->_bf = 0;
} else{
    exit(-1);
}

演示一下这几种情况：

（5）右左双旋

右子树高了，右子树的左子树高了。

即图中 e子树新增结点后高h。

①过程
subR右单旋 >> parent左单旋。
结果：

②代码实现
跟左右双旋类似，直接上代码：

cpp 复制代码

void RotateRL(Node* parent) {
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	Node* parentParent = parent->_parent;
    int bf = subRL->_bf;
    
    RotateR(subR);
    RotateL(parent);

    if (bf == 0) {
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
    }else if (bf == -1) {
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
    }else if (bf == 1) {
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
    }else {
		exit(-1);
    }
}

2.4 AVL树的平衡检测

框架：

cpp 复制代码

bool IsBalanceTree(Node* root) {
    // ...
}

处理root为空的情况

cpp 复制代码

if (root == nullptr) {
    return true;
}

记录左右子树高度

cpp 复制代码

int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);

计算高度差，即为 root 的实际bf

cpp 复制代码

int difference = rightHeight - leftHeight;

检查 difference 是否合理

cpp 复制代码

if(abs(difference) == 2){
	cout << root->_kv.first << "abnormal height difference" << endl;
    return false;
}

检查已存储bf是否正确

cpp 复制代码

if(difference != root->_bf){
    cout << root->_kv.first << "abnormal balance factor" << endl;
    return false;
}

不能直接检查bf，因为bf可能更新错。

递归往root左右判断

cpp 复制代码

return IsBalanceTree(root->_left) && IsBalanceTree(root->_right);

2.5 AVL树的查找

没啥好说的，跟二叉搜索树一样：

cpp 复制代码

Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
    while (cur) {
		if (cur->_kv.first < key){
			cur = cur->_right;
		}else if (cur->_kv.first > key){
			cur = cur->_left;
		}else{
			return cur;
		}
    } 
    return nullptr;
}

AVLTree 的学习就到这里，下一篇我们再上一个新的树红黑树，很快会更出来~

C++ | AVLTree

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一 AVL树的概念

二 实现

2.1 AVLTreeNode

2.2 AVLTree

2.3 Insert

2.3.1 插入流程

（1）新增结点

（2）更新平衡因子

（3）旋转

2.3.2 平衡因子更新

（1）更新原则

（2）停止更新条件

（3）代码实现

2.3.3 旋转

（1）旋转原则

（2）右单旋

（3） 左单旋

（4）左右双旋

（5）右左双旋

2.4 AVL树的平衡检测

2.5 AVL树的查找

二实现

（3）左单旋