文章目录
- 上期回顾
- 二叉树的顺序结构及实现
-
- [1 二叉树的顺序结构](#1 二叉树的顺序结构)
- [2 堆的概念及结构](#2 堆的概念及结构)
- [3 堆的实现](#3 堆的实现)
- [4 堆的应用](#4 堆的应用)
-
- [4.1 堆排序 O(N logN)](#4.1 堆排序 O(N logN))
-
- 堆排序的代码⭐️⭐️⭐️⭐️
-
- [1，用向上调整建堆O(NlogN）](#1，用向上调整建堆O(NlogN）)
- 向上调整建堆的时间复杂度的证明
- 向下调整建堆时间复杂度的证明
- [4. 2 TOP-K问题⭐️⭐️⭐️](#4. 2 TOP-K问题⭐️⭐️⭐️)
- 下期预告
- 结语
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文章概要
本文主要介绍了二叉树的顺式存储方式，堆的概念和性质，以及应用，重点介绍了向上调整算法和向下调整算法，以及堆排序！
上期回顾
上期我们主要介绍了树的基础概念，二叉树的基础概念以及二叉树的重要性质。这期我们来学习一下二叉树的顺势存储结构和链式存储结构。以及我们本章的主角------堆 ！！！
快速复习之数据结构篇------二叉树（一）
二叉树的顺序结构及实现
1 二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段 。
2 堆的概念及结构
堆分为大根堆和小根堆。
堆的性质：
- 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
堆的简单选择题
1.下列关键字序列为堆的是：（）
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32
2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次
数是（）。
A 1
B 2
C 3
D 4
3.一组记录排序码为(5 11 7 2 3 17),则利用堆排序方法建立的初始堆为
A(11 5 7 2 3 17)
B(11 5 7 2 17 3)
C(17 11 7 2 3 5)
D(17 11 7 5 3 2)
E(17 7 11 3 5 2)
F(17 7 11 3 2 5)
4.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是（）
A[3，2，5，7，4，6，8]
B[2，3，5，7，4，6，8]
C[2，3，4，5，7，8，6]
D[2，3，4，5，6，7，8]
向上调整算法代码
cpp
void AdjustUp(Datatype* arr, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (arr[child] < arr[parent])
{
Swap(&arr[child], &arr[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else {
break;
}
}
}向下调整算法代码
cpp
void AdjustDown(Datatype* arr, int n, int parent)
{
int child = 2 * parent + 1;
while (child < n) {
if (child + 1<n&&arr[child + 1] < arr[child])
{
child++;
}
if (arr[child] < arr[parent]) {
Swap(&arr[child], &arr[parent]);
parent = child;
child = 2 * parent + 1;
}
else {
break;
}
}
}3.2堆的创建
下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根结点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子结点的
子树开始调整，一直调整到根结点的树，就可以调整成堆
3.3 建堆时间复杂度------O(N)
先把第一个默认为一个堆，然后把后面的数看作依次push进来，就用向上调整算法确保他一直是一个堆。
3.4 堆的插入
先插入到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆 。
3.5 堆的删除
删除堆是删除堆顶的数据 ，将堆顶的数据根最后一个数据一换 ，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法 。
4 堆的应用
4.1 堆排序 O(N logN)
堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
- 建堆
升序：建大堆
降序：建小堆
非常反直觉，但是，必须要这样。
堆排序的代码⭐️⭐️⭐️⭐️
1，用向上调整建堆O(NlogN）
现在假设我们要排升序，那么堆顶就是最大的数，把它与数组末尾的数交换，向下调整 。然后，看待堆就自动减少一个元素。依次直到""堆""里面没有元素。
代码
cpp
void HeapSort(int* a, int n)
{
// 降序，建小堆
// 升序，建大堆
for (int i = 1; i < n; i++)
{
AdjustUp(a, i);
}
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);
AdjustDown(a, end, 0);
--end;
}
}向上调整建堆的时间复杂度的证明
利用错位相减法可以得到
2，向下调整建堆O(N)⭐️⭐️⭐️⭐️
从最后一个非叶子结点开始进行向下调整，调整到堆顶的时候就排好序了。
通俗理解就是，想要用向下调整算法必须左右子树是堆，那么，我们可以从后向前依次把根的左右子树变成堆
代码
cpp
void AdjustDwon(int* a, int n, int root)
{
int child = root * 2 + 1;
if(child + 1 <n&&(a[child+1]<a[child]))
child++;
while (child < n)
{
if (a[root] > a[child])
swap(a[root], a[child]);
root = child;
child = root * 2 + 1;
}
}
void HeapSort(int* a, int n)
{
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDwon(a, n, i);
}
int end = n - 1;
for (int j = end; j > 0; j--)
{
swap(a[0], a[end]);
AdjustDwon(a, end, 0);
end--;
}
}向下调整建堆时间复杂度的证明
利用错位相减法得到
所以，时间复杂度为O(N）
4. 2 TOP-K问题⭐️⭐️⭐️
TOP-K问题 ：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量 都比较大。比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
- 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆 - 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
通俗来讲就是先挖好K个坑位，然后，依次遍历，看看有没有进坑的资格！
下期预告
OK，今天的博客先分享到这里，下一期我们将一起接着学习堆的相关内容，我们将学二叉树的另一种实现方式------链式存储！以及二叉树里面的重难点------二叉树的
结语
** 本文到此结束，欢迎各位在评论区探讨交流。需要快速复盘、精简学习内容的朋友，可订阅我的快速复习专栏，专注整合学习精华，一起稳步提升！**