62. 不同路径

小辉同志2026-05-10 18:06

文章目录

- 题目
- 代码
- 原理图
- 原理解释

题目

多维动态规划：62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 "Start" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7

输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2

输出：3

解释：

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

向右 -> 向下 -> 向下
向下 -> 向下 -> 向右
向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：

输入：m = 7, n = 3

输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3

输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100

题目数据保证答案小于等于 2 * 109

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1,1));
        for(int i=2;i<=m;++i){
            for(int j=2;j<=n;++j){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

原理图

原理解释

提示：算法流程及解释在代码中已标注

该题是计算从左上角走到右下角只能向右或向下的路径总数问题。

用 dp $i$ $j$ 表示走到位置 (i,j) 的路径数量。

初始化时第一行和第一列都为 1，因为只能单方向移动。

状态转移方程为 dp $i$ $j$ = dp $i-1$ $j$ + dp $i$ $j-1$ 。

含义是当前位置的路径数等于从上方和左方路径数之和。

双重循环从 2 开始逐步填充整个 DP 表。

最终返回 dp $m$ $n$ 即为总路径数。