MPC算法 - 技术栈

MPC

最优化控制和基本概念

研究动机(Motivation)：在约束条件下达到最优的系统表现。

单输入单输出模型：

代价函数（Cost Function）：

前一项q越小说明误差越小，效果越好。后一项越小，说明控制输入量越小，系统能耗也越小；最终要确定调节参数q，r的值使得代价函数 J 最小。（q和r更像一种权重）。

多输入多输出模型：

上述图片公式中公式解释：

x：这是描述系统内部"状态"的一组核心变量，比如位置、速度、温度、压力等。x是一个向量。

u：控制输入。这是我们可以操纵的变量，比如电机的电压、阀门的开度、推力的大小。u也是一个向量。

A矩阵：系统矩阵。它描述了系统状态 x自身如何随时间演化（内部动态）。

B矩阵：输入矩阵。它描述了控制输入 u如何影响系统状态 x的变化率。

物理意义：这个方程告诉我们，系统状态的变化率（dx/dt）由两部分组成：一部分是系统当前状态（Ax）决定的"惯性"，另一部分是我们的控制输入（Bu）产生的"外力"。

y：系统输出。这是我们实际能测量或关心的量，通常由状态变量线性组合而成。它可能等于全部状态，也可能只是其中一部分。

C矩阵：输出矩阵。它将系统的内部状态 x映射为我们能观测到的输出 y。

MPC模型预测的步骤

通过模型来预测系统在某一未来时间段的表现来进行优化控制

常用离散型状态空间表达式：

MPC的三个步骤：

常用的优化策略

二次规划(QP问题)的一般形式：

二次规划的求解器现在有比较成熟的库/包（matlab和python等），我们做的主要是将我们的模型建立并且转换成二次规划的一般形式，然后用库函数求解。

MPC代价函数推导

对于一个系统的状态方程：

MPC示例代码(matlab实现)

MPC_Matrices.m

matlab 复制代码

function [E, H] = MPC_Matrices(A, B, Q, R, F, N)
    n = size(A, 1); 
    p = size(B, 2); 

    M = [eye(n); zeros(N*n, n)];

    C = zeros((N+1)*n, N*p);
    tmp = eye(n); 

    for i = 1:N 
        rows = i*n + (1:n); 
        C(rows, :) = [tmp*B, C(rows-n, 1:end-p)]; 
        tmp = A * tmp; 
        M(rows, :) = tmp; 
    end

    Q_bar = kron(eye(N), Q);
    Q_bar = blkdiag(Q_bar, F);
    R_bar = kron(eye(N), R); 

    G = M' * Q_bar * M; % G: n x n
    E = M' * Q_bar * C; % E: n x NP
    H = C' * Q_bar * C + R_bar; % H: NP x NP

    %H = (H + H') / 2;

end

Prediction.m

matlab 复制代码

function u_k = Prediction(x_k, E, H, N, p)
   
    U_k = zeros(N*p, 1);

    % Solve the quadratic programming problem
    U_k = quadprog(2*H,2*E'*x_k);

    % Extract the control action for the first step
    u_k = U_k(1:p,1); % 取第一个结果
end

MPC_Test.m

matlab 复制代码

function u_k = Prediction(x_k, E, H, N, p)
    U_k = zeros(N*p, 1);
    U_k = quadprog(2*H,2*E'*x_k);
    u_k = U_k(1:p,1); % 取第一个结果
end