算法知识-背包dp

一.01背包

1.01背包模板题

T538725 【模板】01背包 - 洛谷

题意:总体积有V，每个物品都有wi价值，和vi体积，在不超过V时，让总价值最大

解决方案:

状态:dpij表示1到i物品自由选择，容量不超过j的情况下的最大价值

状态转移:

(1)不要i号物品，dpi-1j

(2)要i号物品,dpi-1j-v\[i]+wi

上面两个值，二者取大

通过观察状态转移方程，我们发现，每个格子依赖它的上面的格子，和它的上面左边的格子

所以我们的遍历顺序为从上往下，从左往右

初始状态:

根据依赖，我们需要初始化第一行的格子，dp0j,那么选择0号物品，即为不选物品(因为物品编号从1开始)，那么价值为0，则dp0j=0;

int f1(vector<int>& w, vector<int>& v,int V,int n) {
	vector<vector<int>>dp(n + 1, vector<int>(V + 1, 0));
	//初始状态dp[0][j]=0

	//dp[i][j]：1-i号物品任意选择，容量不超过j的最大价值
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= V; j++) {
			//不要i号物品
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			//选择i号物品
			if (j - v[i] >= 0) {
				dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
			}
		}
	}

	return dp[n][V];
}

状态压缩:

由于我们发现，每个格子依赖，上方，和左上方，所以我们只需要从上往下，从右往左更新

int f2(vector<int>& w, vector<int>& v, int V, int n) {
    vector<int>dp(V + 1, 0);
	//初始状态dp[0][j]=0
	//dp[i][j]：1-i号物品任意选择，容量不超过j的最大价值
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = V; j >=0; j--) {
			//不要i号物品
			//选择i号物品
			if (j - v[i] >= 0) {
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
			}
		}
	}

	return dp[V];
}