GESP6级C++考试语法知识（四、图与树（四））

第四课：《哈夫曼密码森林》

------ 哈夫曼树与压缩魔法的秘密

🌟故事开始：魔法卷轴不够用了！

1、在"二叉树进阶王国"毕业后，

同学们已经掌握了：

✅ 二叉树

✅ BST

✅ 完全二叉树

可是突然有一天！

2、🚨紧急事件发生了！

森林王国里的：

📜 魔法卷轴仓库

快装不下了！

因为：

魔法信件越来越多。

3、🌟问题来了！

比如一句魔法咒语：

复制代码

AAAAABBC

里面：

复制代码

A 出现5次
B 出现2次
C 出现1次

如果每个字符都用一样长的编码：

仓库会浪费很多空间！

4、大家着急地问：

"有没有办法让常见字符更短，"

"罕见字符稍微长一点呢？"

就在这时，

森林深处出现了一位计算机科学家：

🧙 哈夫曼先生

5、他说：

"孩子们，"

"欢迎来到------"

🌳《哈夫曼密码森林》🌳

第一章：什么是哈夫曼树？

1、🌟核心思想

哈夫曼树：

是一种：

🌟让总长度最短的树！

2、🌟一句话理解

出现次数多：

编码短。

出现次数少：

编码长。

3、🌟像什么？

像快递员送货。

4、🌟天天送的地方

放近一点。

5、🌟很少送的地方

远一点没关系。

🌟这样总路程最短！

第二章：为什么要压缩？

1、🌟普通编码的问题

假设：

复制代码

A = 001
B = 010
C = 011

每个字符：

都3位。

2、🌟但问题来了！

A特别多。

却和C一样长。

浪费空间！

3、🌟聪明办法

让：

🌟常见字符

短一点。

🌟少见字符

长一点。

4、🌟结果

总长度会大大减少！

第三章：哈夫曼树如何构造？

1、哈夫曼先生说：

"秘诀只有一句话！"

2、🌟每次选择最小两个合并！

🌟这是整节课最重要的话！

第四章：开始建树！

1、🌟例子

字符频率：

字符	出现次数
A	5
B	2
C	1
D	1

2、🌟第一步：找到最小两个

最小：

复制代码

C=1
D=1

3、🌟合并！

复制代码

   2
  / \
 C   D

新节点权值：

1+1=2

4、🌟现在剩下：

节点	权值
A	5
B	2
CD	2

5、🌟第二步

选最小两个：

复制代码

B=2
CD=2

6、🌟继续合并！

复制代码

7、🌟第三步

剩下：

节点	权值
A	5
BCD	4

8、🌟最后合并！

复制代码

9、🌟哈夫曼树完成！

第五章：哈夫曼编码

1、哈夫曼先生说：

"现在开始赋予密码！"

规则：

2、🌟向左走

记：

复制代码

3、🌟向右走

记：

复制代码

🌟开始编码！

1、🌟A

路径：

复制代码

右

编码：

复制代码

2、🌟B

路径：

复制代码

左 左

编码：

复制代码

3、🌟C

路径：

复制代码

左 右 左

编码：

复制代码

4、🌟D

路径：

复制代码

左 右 右

编码：

复制代码

5、🌟发现了吗？

（1）🌟A最常见

所以：

编码最短！

（2）🌟C、D很少见

所以：

编码长一点。

6、🌟这就是压缩的秘密！

7、🌟哈夫曼编码可能是不唯一的，但最终的压缩效果（总位数）一定相同。

第六章：为什么哈夫曼树最优？

1、同学们问：

"为什么哈夫曼编码一定是最省呢？"

2、🌟因为：

频率大的节点：

离根更近。

3、🌟频率小的节点：

放深一点。

4、🌟于是：

总路径最短！

5、🌟核心公式（理解即可）

总长度：

(频率×编码长度)

6、🌟目标：

让这个值最小！

第七章：优先队列登场！

1、汉克老师说：

"每次都找最小两个，"

"手找太慢了！"

于是：

一种神奇工具出现了：

🌟priority_queue

2、🌟作用

自动帮你找到最小值！

3、🌟像什么？

像：

自动排序宝箱。

4、🌟放进去

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5 2 1 1

🌟每次自动弹出最小！

复制代码

1
1

5、🌟这太适合哈夫曼树了！

第八章：哈夫曼树代码（启蒙版）

1🌟定义：

复制代码

priority_queue<int,
               vector<int>,
               greater<int>> q;

2、🌟作用

建立：

小根堆

最小值永远在最前面。

3、🌟加入数字

复制代码

q.push(5);
q.push(2);
q.push(1);
q.push(1);

4、🌟取最小

复制代码

int a=q.top();
q.pop();

5、🌟哈夫曼核心循环

复制代码

while(q.size()>1)
{
    int a=q.top(); q.pop();
    int b=q.top(); q.pop();

    q.push(a+b);
}

6、🌟详细讲解

（1）每次取两个最小

（2）合并

a+b

（3）再放回去

（4）🌟直到只剩一个！

哈夫曼树完成！

第九章：经典例题

1、🌟题目

数字：

复制代码

1 2 3 4

每次合并最小两个。

求总代价。

2、🌟第一步

复制代码

1+2=3

目前总代价为：

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3、🌟剩下

复制代码

3 3 4

4、🌟第二步

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3+3=6

5、目前总代价为：

3+6=9

6、🌟剩下

复制代码

4 6

7、🌟第三步

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4+6=10

8、最终总代价为：

9+10=19

9、🌟答案

复制代码

10🌟这类题：

CSP经常考,选择题考的几率大！

第十章：举一反三！

1、🌟哈夫曼树能干什么？

🌳文件压缩

🌳图片压缩

🌳音乐压缩

🌳视频压缩

2、🌟原来：

我们每天都在使用哈夫曼思想！

第十一章：课堂训练

🌟训练1

频率：

复制代码

A=3
B=2
C=1
D=4
E=1

请构造哈夫曼树。

🌟训练2

写出这个哈夫曼树的编码。

🌟训练3

求这个哈夫曼树合并的总代价。

第十二章：整个树课程大总结

🌟第一课

图与树：

✅ 图

✅ 树

✅ DFS

🌟第二课

二叉树：

✅ 前序

✅ 中序

✅ 后序

✅ 递归

🌟第三课

进阶树：

✅ 完全二叉树

✅ BST

✅ 数组存树

🌟第四课

哈夫曼树：

✅ 贪心思想

✅ priority_queue

✅ 压缩编码

🌟现在我们已经掌握：

🌳树的基础世界！

我们再回想下列问题：

⚔️问题1

为什么哈夫曼树：

总是优先合并最小两个？

⚔️问题2

为什么 BST 中序遍历一定有序？

⚔️问题3

完全二叉树为什么适合数组存储？

⚔️问题4

DFS 为什么像走迷宫？

🌟汉克老师最后说：

"真正厉害的算法高手，"

"不是背代码的人。"

"而是能把复杂问题，"

"变成一棵知识树的人！" 🌳