HNU2026-计算机系统-笔记 7 浮点数

7 浮点数

浮点运算是衡量超算性能的主要指标。浮点数本质上就是科学计数法形式的二进制实数。

01 二进制小数

小数与科学计数法

小数由整数部分与小数部分组成，可以用位权公式表达：

718.415=7×102+1×101+8×100+4×10−1+1×10−2+5×10−3718.415 = 7 \times 10^2 + 1 \times 10^1 + 8 \times 10^0 + 4 \times 10^{-1} + 1 \times 10^{-2} + 5 \times 10^{-3}718.415=7×102+1×101+8×100+4×10−1+1×10−2+5×10−3

科学计数法将一个数表示为 a×10na \times 10^na×10n 的形式，其中 1≤∣a∣<101 \leq |a| < 101≤∣a∣<10，nnn 为整数。

二进制小数的表示

二进制小数点右侧的每一位表示 2 的负幂：

∑k=−jibk×2k\sum_{k=-j}^{i} b_k \times 2^kk=−j∑ibk×2k

位置	权值
b−1b_{-1}b−1（小数点右第 1 位）	2−1=1/22^{-1} = 1/22−1=1/2
b−2b_{-2}b−2（小数点右第 2 位）	2−2=1/42^{-2} = 1/42−2=1/4
b−3b_{-3}b−3（小数点右第 3 位）	2−3=1/82^{-3} = 1/82−3=1/8
b−jb_{-j}b−j（小数点右第 jjj 位）	2−j2^{-j}2−j

示例 ：1011.1012=8+2+1+0.5+0.125=11.6251011.101_2 = 8 + 2 + 1 + 0.5 + 0.125 = 11.6251011.1012=8+2+1+0.5+0.125=11.625

快速转换窍门 ：小数部分写成分数，分母为 2k2^k2k（kkk 为小数位数），分子为小数部分二进制的值。例如 .1012=5/8=0.625.101_2 = 5/8 = 0.625.1012=5/8=0.625

二进制小数举例

十进制	二进制
5 3/4	101.112101.11_2101.112
2 7/8	10.111210.111_210.1112
1 13/16	1.110121.1101_21.11012

规律：

• 小数点右移一位 = 乘 2；左移一位 = 除 2
• 0.111111...20.111111\ldots_20.111111...2 表示刚好小于 1.0 的数（即 1.0−ε1.0 - \varepsilon1.0−ε）

二进制小数的表示限制

二进制小数只能精确表示形如 x/2kx / 2^kx/2k 的数，其他值只能近似表示：

十进制值	二进制表示
1/3	0.010101010101...20.010101010101\ldots_20.010101010101...2（无限循环）
1/5	0.0011001100110011...20.0011001100110011\ldots_20.0011001100110011...2
1/10	0.00011001100110011...20.00011001100110011\ldots_20.00011001100110011...2

这就是为什么在计算机中 0.1 + 0.2 ≠ 0.3------十进制的 0.1 在二进制中是无限循环小数，存储时必然被截断。

02 IEEE 浮点数标准

IEEE 754 标准

IEEE 754 标准于 1985 年建立（之前每个计算机制造商使用自己的浮点规则），现在被所有主流 CPU 支持。该标准面向数字运算的精确性，支持舍入、溢出等操作，定义在一组小而一致的规则上。

浮点数的数学形式

V=(−1)s×M×2EV = (-1)^s \times M \times 2^EV=(−1)s×M×2E

• 符号位 s (Sign)：决定正数还是负数，数值 0 的符号位特殊处理
• 尾数 M (Significand) ：一个二进制小数，通常在 [1.0,2.0)[1.0, 2.0)[1.0,2.0) 范围内
• 阶码 E (Exponent)：表示 2 的幂

在二进制编码中，浮点数分为三个字段：

字段	含义
s（1 位）	符号位
exp（若干位）	阶码字段
frac（若干位）	尾数字段

浮点数类型

精度	总位数	符号	阶码 (exp)	尾数 (frac)
单精度 (float)	32 bits	1	8 bits	23 bits
双精度 (double)	64 bits	1	11 bits	52 bits
扩展精度 (Intel only)	80 bits	1	15 bits	63 或 64 bits

三种表示类别

根据阶码字段 exp 的取值，浮点数分为三种类别：

阶码 exp
├── 全 0（000...0）       → 非规格化数
├── 非全 0 且非全 1       → 规格化数
└── 全 1（111...1）       → 特殊值
    ├── frac = 000...0   → ±∞
    └── frac ≠ 000...0   → NaN

类别 1：规格化值（Normalized）

判断条件：exp 不为全 0 且不为全 1

• 阶码 ：采用偏置（biased）表示
  • E=Exp−BiasE = Exp - BiasE=Exp−Bias
  • ExpExpExp 是 exp 字段的无符号值
  • Bias=2k−1−1Bias = 2^{k-1} - 1Bias=2k−1−1，其中 kkk 为阶码位数（单精度 Bias = 127，双精度 Bias = 1023）
• 尾数 ：M=(1.xxx...x)2M = (1.xxx\ldots x)_2M=(1.xxx...x)2
  • 整数部分隐含为 1（不需要存储），frac 字段存储小数部分
  • 最小值：frac 全 0 时 M=1.0M = 1.0M=1.0
  • 最大值：frac 全 1 时 M=2.0−εM = 2.0 - \varepsilonM=2.0−ε

规格化值示例：float F = 15213.0

1. 1521310=111011011011012=1.11011011011012×21315213_{10} = 11101101101101_2 = 1.1101101101101_2 \times 2^{13}1521310=111011011011012=1.11011011011012×213
2. 尾数：M=1.11011011011012M = 1.1101101101101_2M=1.11011011011012，frac = 11011011011010000000000
3. 阶码：E=13E = 13E=13，Exp=E+Bias=13+127=140=100011002Exp = E + Bias = 13 + 127 = 140 = 10001100_2Exp=E+Bias=13+127=140=100011002
4. 最终编码：0 | 10001100 | 11011011011010000000000

类别 2：非规格化值（Denormalized）

判断条件：exp = 000...0（阶码全 0）

• 阶码 ：E=1−BiasE = 1 - BiasE=1−Bias（注意不是 0−Bias0 - Bias0−Bias，这是为了让非规格化值与规格化值之间平滑过渡）
• 尾数 ：M=(0.xxx...x)2M = (0.xxx\ldots x)_2M=(0.xxx...x)2（隐含整数部分为 0，而不是 1）

两种特殊情况：

• exp = 0, frac = 0：表示 0（符号位决定 +0 或 -0）
• exp = 0, frac ≠ 0：表示非常接近 0.0 的数

类别 3：特殊值

判断条件：exp = 111...1（阶码全 1）

• 情况 1 ：exp 全 1，frac = 0 → 表示无穷大 （+∞+\infty+∞ 或 −∞-\infty−∞），可用来表示溢出结果，如 1.0/+0.0=+∞1.0 / +0.0 = +\infty1.0/+0.0=+∞，1.0/−0.0=−∞1.0 / -0.0 = -\infty1.0/−0.0=−∞
• 情况 2 ：exp 全 1，frac ≠ 0 → 表示 NaN （Not a Number），用来表示无法定义的运算结果，如 −1\sqrt{-1}−1 、∞−∞\infty - \infty∞−∞、∞×0\infty \times 0∞×0

03 示例与性质

8 位浮点数完整示例

以一个 8 位微型浮点格式为例：1 位符号 + 4 位阶码 + 3 位尾数，Bias = 23−1=72^3 - 1 = 723−1=7。

非规格化数 （exp = 0000，E=1−7=−6E = 1 - 7 = -6E=1−7=−6）：

编码	E	M	值	说明
0 0000 000	-6	0/8	0	零
0 0000 001	-6	1/8	1/512	最小非规格化正数
0 0000 010	-6	2/8	2/512
...
0 0000 111	-6	7/8	7/512	最大非规格化数

规格化数（exp 非全 0 非全 1）：

编码	E	M	值	说明
0 0001 000	-6	8/8	8/512	最小规格化数
0 0001 001	-6	9/8	9/512
...
0 0110 110	-1	14/8	14/16
0 0110 111	-1	15/8	15/16	从下最靠近 1
0 0111 000	0	8/8	1
0 0111 001	0	9/8	9/8	从上最靠近 1
...
0 1110 111	7	15/8	240	最大规格化数
0 1111 000	---	---	+∞+\infty+∞	正无穷

注意最大非规格化数（7/512）到最小规格化数（8/512）之间的平滑过渡 ------这正是非规格化数使用 E=1−BiasE = 1 - BiasE=1−Bias 而非 0−Bias0 - Bias0−Bias 的设计目的。

浮点数取值分布特征

• 浮点数在数轴上的分布是不均匀的：越靠近 0，可表示的数越密集；越远离 0，间距越大
• 非规格化数（Denormalized）集中在 0 附近，规格化数（Normalized）覆盖更大范围

浮点数属性（单精度 / 双精度）

描述	单精度 (float)	双精度 (double)
最小非规格化正数	≈1.4×10−45\approx 1.4 \times 10^{-45}≈1.4×10−45	≈4.9×10−324\approx 4.9 \times 10^{-324}≈4.9×10−324
最大非规格化正数	≈1.18×10−38\approx 1.18 \times 10^{-38}≈1.18×10−38	≈2.2×10−308\approx 2.2 \times 10^{-308}≈2.2×10−308
最小规格化正数	≈1.18×10−38\approx 1.18 \times 10^{-38}≈1.18×10−38	≈2.2×10−308\approx 2.2 \times 10^{-308}≈2.2×10−308
1	1.01.01.0	1.01.01.0
最大规格化正数	≈3.4×1038\approx 3.4 \times 10^{38}≈3.4×1038	≈1.8×10308\approx 1.8 \times 10^{308}≈1.8×10308

04 舍入与运算

浮点运算的基本思路

浮点加法和乘法的基本策略是：

1. 先按精确数学运算计算出精确结果
2. 再通过 " 舍入 " 将结果拟合到浮点格式能表示的最近值

x+fy=Round(x+y)x +_f y = Round(x + y)x+fy=Round(x+y)
x×fy=Round(x×y)x \times_f y = Round(x \times y)x×fy=Round(x×y)

浮点运算溢出

由于浮点数使用有限位数的二进制（单精度 32 位，双精度 64 位），运算时也会出现溢出。Ariane 5 火箭事故（1996 年）就是因为软件工程师没有考虑浮点数溢出问题，导致火箭发射后仅 37 秒解体爆炸，价值 5 亿美元的通信卫星付之一炬。

四种舍入方式

舍入方式	$1.40	$1.60	$1.50	$2.50	-$1.50
向零舍入 (Towards zero)	$1	$1	$1	$2	-$1
向下舍入 (Round down, −∞-\infty−∞)	$1	$1	$1	$2	-$2
向上舍入 (Round up, +∞+\infty+∞)	$2	$2	$2	$3	-$1
向偶数舍入 (Nearest Even)（默认）	$1	$2	$2	$2	-$2

向偶数舍入能找到最接近的匹配值，且在中间值时不会产生统计偏差（其他三种用于计算上界和下界）。

向偶数舍入（Round to Nearest Even）

这是 IEEE 754 的默认舍入方案。规则是：中间值（恰好在两个可表示值正中间）应当向偶数方向舍入。

十进制示例（舍入到百分位）：

• 1.2349999 → 1.23（不到中间值，向下）
• 1.2350001 → 1.24（超过中间值，向上）
• 1.2350000 → 1.24（中间值，4 是偶数，向上凑偶）
• 1.2450000 → 1.24（中间值，4 是偶数，向下凑偶）

二进制舍入

在二进制中：

• " 偶数 " 是指末位为 0
• " 中间值 " 是指舍入位右边恰好是 100...02100\ldots 0_2100...02 的形式

示例（舍入到小数点右边两位，即精度为 1/4）：

原值	二进制	舍入后	结果	操作
2 3/32	10.00011210.00011_210.000112	10.00210.00_210.002	2	不到中间值，向下
2 3/16	10.00110210.00110_210.001102	10.01210.01_210.012	2 1/4	超过中间值，向上
2 7/8	10.11100210.11100_210.111002	11.00211.00_211.002	3	中间值，向上凑偶
2 5/8	10.10100210.10100_210.101002	10.10210.10_210.102	2 1/2	中间值，向下凑偶

浮点数乘法

(−1)s1M1⋅2E1×(−1)s2M2⋅2E2=(−1)sM⋅2E(-1)^{s_1} M_1 \cdot 2^{E_1} \times (-1)^{s_2} M_2 \cdot 2^{E_2} = (-1)^s M \cdot 2^E(−1)s1M1⋅2E1×(−1)s2M2⋅2E2=(−1)sM⋅2E

精确结果：

• 符号位：s=s1⊕s2s = s_1 \oplus s_2s=s1⊕s2（异或）
• 尾数：M=M1×M2M = M_1 \times M_2M=M1×M2
• 阶码：E=E1+E2E = E_1 + E_2E=E1+E2

调整步骤：

• 如果 M≥2M \geq 2M≥2，将 MMM 右移一位，E=E+1E = E + 1E=E+1
• 如果 EEE 超出可表示范围，则溢出
• 将 MMM 舍入到 frac 的位数范围

浮点数加法

加法的四个步骤：

1. 对阶 ：小阶向大阶对齐------将阶码小的那个数的尾数右移 ∣ΔE∣|\Delta E|∣ΔE∣ 位，同时阶码加上 ∣ΔE∣|\Delta E|∣ΔE∣（值不变但精度变差）
2. 尾数相加：对两个对阶后的浮点数执行尾数加法
3. 规格化并舍入 ：如果结果尾数不是规格化形式（1.xxx1.xxx1.xxx），需要调整并舍入
4. 判断溢出：根据阶码判断是否超出可表示范围

浮点加法的数学特性

与阿贝尔群比较：

• 有交换性 ：a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a
• 没有结合性 （由于舍入）：(3.14+1e10)−1e10=0(3.14 + 1\text{e}10) - 1\text{e}10 = 0(3.14+1e10)−1e10=0，而 3.14+(1e10−1e10)=3.143.14 + (1\text{e}10 - 1\text{e}10) = 3.143.14+(1e10−1e10)=3.14
• 单调性 ：a≥b⇒a+c≥b+ca \geq b \Rightarrow a + c \geq b + ca≥b⇒a+c≥b+c（除了涉及 infinities 和 NaN 的情况）

浮点乘法的数学特性

• 可交换 ：a×b=b×aa \times b = b \times aa×b=b×a
• 不可结合 ：a×b×c≠a×(b×c)a \times b \times c \neq a \times (b \times c)a×b×c=a×(b×c)
• 不具备分配性 ：a×(b+c)≠a×b+a×ca \times (b + c) \neq a \times b + a \times ca×(b+c)=a×b+a×c
• 单调性 ：a≥ba \geq ba≥b 且 c≥0⇒a×c≥b×cc \geq 0 \Rightarrow a \times c \geq b \times cc≥0⇒a×c≥b×c（除了 infinities 和 NaN）

05 C 语言中的浮点数

两种浮点类型

类型	精度	位数
float	单精度	32 bits
double	双精度	64 bits

类型转换规则

在 int、float、double 之间转换时，位级表示会改变：

转换方向	行为
double/float → int	向零舍入；对于无法表示或超出范围的值，行为未定义
int → double	能够保留精确值（因为 double 有 52 位尾数，足以表示 32 位 int）
int → float	数字不会溢出，但可能被舍入（float 只有 23 位尾数，不足以精确表示所有 32 位 int）

浮点数谜题

给定 int x; float f; double d;（假设 d 和 f 都不是 NaN），判断以下表达式是否总为真：

表达式	结论	原因
x == (int)(float)x	不一定	float 只有 23 位尾数，大 int 值转 float 会丢失精度
x == (int)(double)x	总为真	double 有 52 位尾数，能精确表示任何 32 位 int
f == (float)(double)f	总为真	double 精度高于 float，不会丢失信息
d == (float)d	不一定	double 转 float 会丢失精度
f == -(-f)	总为真	取负只翻转符号位，两次翻转恢复原值
2/3 == 2/3.0	不成立	左边是整数除法结果 0，右边是浮点除法结果 0.666...
d * d >= 0.0	总为真	平方结果非负（即使溢出到 +∞+\infty+∞ 也 ≥0\geq 0≥0）
(d+f)-d == f	不一定	浮点加法没有结合性，舍入可能导致精度丢失

本节小结

1. 二进制小数 ：小数点右侧每一位代表 2−1,2−2,...2^{-1}, 2^{-2}, \ldots2−1,2−2,...；只能精确表示 x/2kx/2^kx/2k 形式的数，1/3、1/5、1/10 等在二进制中都是无限循环。
2. IEEE 754 标准 ：浮点数 = (−1)s×M×2E(-1)^s \times M \times 2^E(−1)s×M×2E，由符号位、阶码、尾数三个字段编码。单精度 32 位（1+8+23），双精度 64 位（1+11+52）。
3. 三种类别 ：规格化值（阶码非全 0 非全 1，隐含前导 1）、非规格化值（阶码全 0，隐含前导 0，用于表示极小值和 0）、特殊值（阶码全 1，表示 ±∞\pm\infty±∞ 或 NaN）。
4. 舍入：默认向偶数舍入（Round to Nearest Even），中间值向偶数方向凑，避免统计偏差。
5. 浮点运算特性 ：加法和乘法都满足交换律，但不满足结合律和分配律------这是舍入导致的根本性质，编程时必须注意运算顺序。
6. C 语言转换：int → double 精确；int → float 可能舍入；float/double → int 向零截断且可能溢出。