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1、堆排序
我们在之前的建堆实现过程中，需要我们先定义一个结构体来定义一个堆，让后在进行堆的push和pop，会很麻烦，而直接建堆是在数组上直接将无序的数组进行建堆，这样我们就抛开了堆的数据结构这个思想，只需要用堆结构中的向上调整建堆和向下调整建堆。我们在写直接建堆之前先把向上建堆和向下建堆的代码先复习一遍。
堆排序的过程：1.先使无序的数组变成堆 。
2.让后交换首尾节点里的值，接着再对堆进行调整。
1.1Swap交换值
1.2向上调整建堆
思想：向上调整的过程就是让孩子节点不断的和父亲节点比较，使无序的数组变成堆，让后如果孩子节点比父亲节点大，就交换两个节点里的值，让后再更新下标，再进行重复一轮的比较
1.2.1向上调整的时间复杂度(N*logN)
思想：向上调整建堆是从第二个节点开始向上进行调整的，假设一共有N个节点，高度为h，则存在关系式：N=2^h-1;而每层的节点数和向上调整的高度的乘积是等比×等差，每一层的和就是他们的时间复杂度。经下图的分析可得T（h）=（h-2）2^（h-1）+1；将N与h的关系代入得T=(1/2)(log^(N+1)-2)(N+1)+1约等于N*logN,具体推导过程如下图。
1.3向下调整建堆（从根节点开始向下调整建队）
从根节点开始向下调整建堆的前提是必须先保障左右子树是堆
这里有一个易错点，就是这个假设左孩子的时候，需要注意比较的时候右孩子存在不存在，如果没有考虑这个条件，会导致非法访问右孩子的下标。（child+1<n）
对于下面的图我们分两种情况，左图是满二叉树，右图是完全二叉树
（1）满二叉数的N和h的关系是h=log(N+1),
(2)完全二叉树的N和h的关系是h=logN+1;
但是它们的关系都可以简化为h=logN;
接下来我们来推到 一下从根节点向下进行调整堆的时间复杂度，此时，我们以最坏的情况来看，这个堆除了最后一层叶子节点不用调整外，其他的非叶子节点都需要进行调整，而最后一层的节点约等于N/2；相当于总结点的一半，此时，我们从第一层开始向下进行调整，则我们这里会写下一个h的关系式：T=2^0*(h-1)+2^1*(h-2)+.......+2^(h-2)*1,化简之后为T=2^h-h-1,将h与N的关系代入得
T=N-log(N+1)约等于N，所以它得时间复杂度是O（N）？？？
注意注意，这个答案是错误的，
那为什么在算法领域，大家依然强调从根节点开始遍历效率低，甚至有时会说是 O(N log N) 呢？
常数项与系数的差异：
虽然都是 O(N)，但标准建堆的精确公式推导出来是 N - \log N - 1，而刚才从根节点遍历推导出来的是 2N - \log N - 2（注意：刚才推导中的 2^h 在标准建堆的推导中对应的是 2^{h-1} 量级，系数差了整整一倍）。在海量数据下，从根节点遍历的实际运行时间大约是标准建堆的 2倍。
算法前提的破坏（核心原因）：
向下调整（siftDown）的硬性前提是"左右子树必须已经是堆"。从根节点开始遍历时，这个前提完全不成立。这种"盲目下沉"在逻辑上是错误的，它无法保证把当前节点放到最终的正确位置，往往需要后续反复的、额外的调整才能修正。
O(N log N) 说法的来源：
在算法教学中，为了警示大家不要破坏 siftDown 的前提，通常会将这种"暴力遍历"的复杂度，类比为向上调整建堆（siftUp）的复杂度。向上调整建堆（从第2个元素开始不断向上冒泡）的复杂度是严格的 O(N log N)。
总结一下：
你的纠正非常精准，根节点的代价确实是 h-1。即使把这个修正代入，从根节点遍历的数学代价依然是 O(N)（系数约为2）。但由于它违背了算法的核心前提，且实际效率只有标准建堆（系数约为1）的一半，所以从最后一个非叶子节点开始的自底向上建堆，才是唯一正确且最高效的标准做法。
1.4向下调整建堆（从最后一个非叶子节点开始向下调整建堆）
为了更好的优化建堆，我们一般采用自下而上的方式进行建堆，这样避免还得考虑左右子树必须是堆的前提，而上面的根节点还需要先考虑左右子树是堆的情况。
从最后一个非叶子节点开始向下调整建堆只是改变了parent节点的下标，上面从根节点向下调整建堆的下标是从根节点开始的，而这里的从非叶子节点的下标是从最后一个父亲节点开始的，所以只需要改变一下起始的下标就行了，其他都没变。
1.4.1逆向向下调整的时间复杂度（N）
逆向向下调整建堆除了最后一层的叶子节点之外，所有的非叶子节点都需要进行调整，所以上面的等差*等比的和就是总的实现复杂度，可以看出上面计算所得T（h）=2^h-1-h,又因为h与N的关系N=2^h-1,将这个式子带入到总的时间复杂度当中得：T（h）=N-log(N+1)约等于N，所以这种方法的向下调整建堆的复杂度是O（N）
2堆排序的实现过程
2.1堆排序的实现过程（向上调整建堆）（N*logN）
原则：（升序建大堆，降序建小堆）
这个就是先给定一个无序的数组，让后先建大堆，让后交换，再接着调整堆，此时需要注意的是向下调整建堆的元素个数需要--;
上面就是采用建大堆得到的是升序的过程,但是这种建堆的复杂度较高，（1）向上调整建堆的复杂度是O（N*logN）,(2)交换+调整堆的复杂度是O（N*logN），而堆排序由这两部组成，总的时间复杂度是O（N*logN）。
2.2堆排序的实现过程（向下调整建堆）（N）
我们一般用向下调整建堆一般以自下而上的建堆方法，也就是从最后一个非叶子节点开始自上而下调整建堆，这样在建堆的这一步的复杂度就能得到大大的改善。具体的代码实现和向上调整建堆实现堆排序的代码没有太大的差距，只不过是在建堆这部分有点不同，具体代码如下：
在上面的代码截图当中可以看出就只是在建堆这个部分改变了，其他的交换和重新调整堆，都没有改变，而它的复杂度是：（1）向上调整建堆的复杂度是O（N）,(2)交换+调整堆的复杂度是O（N*logN），而堆排序由这两部组成和，总的时间复杂度是O（N）。