最低公共祖先 LCA

2.给定一棵二叉树和两个节点，找出它们的最低公共祖先(LCA)。如果节点可能不存在于树中，如何设计?

1、背景介绍

最近公共祖先（Lowest Common Ancestor, LCA） ：给定一棵根树和树上任意两个节点 u、v，我们需要高效找到它们的最低公共祖先节点：即在树中离根最远、深度最大，且同时是 u 和 v 祖先的节点。

2、LCA 典型应用场景

文件系统路径管理：查找两个文件 / 目录的最近公共父目录；
族谱分析：确定两人最近的共同祖先；
网络路由优化：计算树状网络中两个节点通信路径的汇聚点；
计算机图形学：骨骼动画中查找两个骨骼的最近公共父骨骼；
在线查询系统：树结构的区间查询、路径查询等高频 LCA 查询场景；
树结构问题：解决树中节点间的路径查询、距离计算（如结合DFS）；
生物信息学：基因树中分析物种进化关系。

3、算法优化说明

暴力法：单次查询时间复杂度 O(h)（h 为树高），海量查询效率低
优化算法：倍增法、欧拉序 + RMQ、Tarjan 离线算法等
重点推荐：二进制倍增法，预处理复杂度 O(log⁡n)，单次查询复杂度O(log⁡n)，大数据场景性能优异

方法1: 暴力法(DFS回溯)

思路 : 分别记录根节点到目标节点的路径，最后比较路径的交点。
时间复杂度:

预处理: 无
单次查询: O(n)

方法2: 倍增算法(高效查询)

思路 : 预处理每个节点的2^k级祖先，通过二进制跳跃逼近LCA。
时间复杂度:

预处理: O(nlog n)
单次查询: O(log n)

方法3: Tarjan算法(离线查询)

思路 : 基于并查集的DFS后序遍历，适合批量查询。
时间复杂度:

预处理与查询: O(n + qα(n)) (近似线性)

LeetCode 236. 二叉树的最近公共祖先

给定一个二叉树，找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

最近公共祖先定义：对于有根树 T 的两个节点 p、q，最近公共祖先表示为一个节点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。

java 复制代码

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if (root == null || p == root || q == root) {
            return root;
        }
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        if (left != null && right != null) {
            return root;
        }
        return (left != null) ? left : right;
    }


    public static void main(String[] args) {
        // 构建测试树: [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4]
        TreeNode root = new TreeNode(3);
        root.left = new TreeNode(5);
        root.right = new TreeNode(1);
        root.left.left = new TreeNode(6);
        root.left.right = new TreeNode(2);
        root.right.left = new TreeNode(0);
        root.right.right = new TreeNode(8);
        root.left.right.left = new TreeNode(7);
        root.left.right.right = new TreeNode(4);

        Solution solution = new Solution();

        // 测试用例1: p = 5, q = 1
        TreeNode p = root.left;  // 节点5
        TreeNode q = root.right; // 节点1
        TreeNode result = solution.lowestCommonAncestor(root, p, q);
        System.out.println("LCA of 5 and 1 is: " + result.val); // 输出: 3

        // 测试用例2: p = 5, q = 4
        TreeNode q2 = root.left.right.right; // 节点4
        TreeNode result2 = solution.lowestCommonAncestor(root, p, q2);
        System.out.println("LCA of 5 and 4 is: " + result2.val); // 输出: 5

        // 测试用例3: 节点不存在的情况
        TreeNode nonExistent = new TreeNode(9); // 树中不存在的节点
        TreeNode result3 = solution.lowestCommonAncestor(root, p, nonExistent);
        System.out.println("LCA with non-existent node: " + (result3 == null ? "null" : result3.val)); // 输出: null
    }
}

解题思路

递归方法 ：从根节点开始，递归地遍历左子树和右子树。
如果当前节点是其中一个目标节点（p或q），则返回该节点；
如果在左子树和右子树中都找到了目标节点，则当前节点就是LCA；
否则，返回非null的子节点结果。
关键点：算法基于后序遍历（左-右-根），因为它需要先处理子树，再处理根节点，从而自底向上地确定LCA。
边界条件：如果树为空或目标节点不存在，返回null；如果目标节点是根节点，则根节点就是LCA。

算法流程

基本检查
1. 若当前节点为 null，返回 null
2. 若当前节点是 p 或 q，返回当前节点（命中目标）
递归遍历
1. 递归查找左子树，获取结果
2. 递归查找右子树，获取结果
结果合并
1. 左、右结果均非空 → 当前节点是 LCA
2. 仅左结果非空 → 返回左子树结果
3. 仅右结果非空 → 返回右子树结果
4. 均为 null → 未找到目标节点，返回 null

总结

本题核心解法是递归后序遍历，逻辑简洁易实现，适合二叉树 LCA 基础场景
算法时间复杂度O(n)，空间复杂度 O(h)（递归栈）
海量查询场景可升级为倍增法，大幅提升查询效率